Sinus Gleichung richtig auflösen: sin(x^2-1)=-1/2

Question

Aufgabe: Gleichung: sin(x^2-1) = -1/2 nach x auflösen.

Meine Vorgehensweise über den arcsin:

.    sin(x^2 -1) = -1/2          | arcsin

.    x^2-1 = arcsin(-1/2)      | Periodizität 2*k*π

.    x^2-1 = π/6 + 2*k*π      | +1

.    x^2 = π/6 + 2*k*π +1    | Wurzel

.    x = √(π/6 + 2*k*π +1)

Mit WolframAlpha versucht zu prüfen, aber leider liegt in meiner Vorgehensweise ein Fehler. (WolframAlpha)

Wäre nett wenn mir jemand, erklären könnte wie ich das richtig lösen kann.

Answer 1

sin(z)=-1/2 ->

z₁=7π/6 +2kπ

z₂=11π/6 +2kπ

bleibt also

x^2-1 = 7π/6 +2kπ

x^2= 7π/6 +2kπ +1

x=±√[7π/6 +2kπ +1]

sowie

x^2-1 = 11π/6 +2kπ 

x^2=11π/6 +2kπ +1

x=±√[11π/6 +2kπ +1]

Beachte, wann der Term unter der Wurzel negativ wird!

Das gibt eine weitere Einschränkung an k!

Answer 2

Du hast einen Vorzeichenfehler bei π/6 !  

x²-1 = arcsin(-1/2)      | Periodizität 2*k*π

.    x²-1 = - π/6 + 2*k*π      | +1         oder         Zweite Möglichkeit: x²-1 = 7π/6 + 2*k*π      | +1 

.    x² = - π/6 + 2*k*π +1    | Wurzel     oder            … 

.    x = ±  √(-π/6 + 2*k*π +1)                oder  …   x = ± … 

In beiden Fällen k ∈ ℤ so einschränken, dass der Radikand nicht negativ sein kann.

negative x (also Resultate) kannst du ohne Weiteres zulassen. Daher ± vor den Wurzeln