Berechne die Summe der 9 aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen von 28 bis 36

Question

a) Berechne die Summe der 9 aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen von 28 bis 36.

b) Beweise: Wenn eine ganze Zahl a durch 4 teilbar ist, dann ist die Summe der 9 aufeinanderfolgenden, mit a beginnenden ganzen Zahlen durch (4·9 =) 36 teilbar.

c) Stelle fest, ob es eine durch 5 teilbare, positive ganze Zahl a und eine ganze Zahl n mit n > 1 derart gibt, dass die Summe der n aufeinanderfolgenden, mit a beginnenden ganzen Zahlen durch 5 n teilbar ist.

d) (Zusatzaufgabe für besonders Interessierte) Beweise: Für jede positive ganze Zahl a gibt es eine ganze Zahl n mit n > 1 derart, dass die Summe der n aufeinanderfolgenden, mit a beginnenden ganzen Zahlen durch a·n teilbar ist.

Summenberechnungen, wer kann bitte hier helfen?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Summe der 9 aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen von 28 bis 36? Beweis

Stichworte: ganze,zahl,aufeinanderfolgende,summe,gleichung

Ich komme bei einer aktuellen Knobelaufgabe einfach nicht weiter. Ich hoffe ihr könnt mihr helfen. Bitte vollständige Lösung (gegeben, gesucht, Lösung, Antwortsatz) mit Rechenweg.

a) Berechne die Summe der 9 aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen von 28 bis 36.

b) Beweise: Wenn eine ganze Zahl a durch 4 teilbar ist, dann ist die Summe der 9 aufeinanderfolgenden, mit a beginnenden ganzen Zahlen durch (4 9 = ) 36 teilbar.

c) Stelle fest, ob es eine durch 5 teilbare, positive ganze Zahl a und eine ganze Zahl n mit n > I derart gibt, dass die Summe der n aufeinanderfolgenden, mit a beginnenden ganzen Zahlen durch 5 • n teilbar ist.

d) (Zusatzaufgabe für besonders Interessierte) Beweise: Für jede positive ganze Zahl a gibt es eine ganze Zahl n mit n > I derart, dass die Summe der n aufeinanderfolgenden, mit a beginnenden ganzen Zahlen durch a • n teilbar ist.

Answer 1

a) (Erste +Letzte)·(Anzahl der Summanden)/2=(28+36)·9/2= 288.

Answer 2

a)  28+29+30+....+36  = ?

b) Die Zahlen sind  a + ( a+1 ) + ( a+2 ) + .... + ( a+8)

                           = 9a + 1+2+3+...+8

                       und dann siehst du es.

Answer 3

a)

28 + 29 + 30 + ... + 36

9 * 28 + 0 + 1 + 2 + 3 + ... + 8

252 + 1/2·8·(8 + 1)

288

b)

a + (a + 1) + (a + 2) + ... + (a + 8)

9 * a + 1/2·8·(8 + 1)

9 * a + 4·9

Sowohl a als auch 4 sind durch 4 teilbar. Damit ist die Summe auch durch 4 teilbar.

Die anderen Aufgaben löst du ähnlich mit der Gausschen Summenformel.

Answer 4

28+29+...+36

=9*28 + (0+1+...+8)

= 9*28+ 8*9/2

= 252 +36 = 288