Extremwertproble ( nach c auflösen) 2=2a+2*(2*a)+4c

Question

Es soll ein oben quaderförmiges Terrarium gebaut werden, das mithilfe von Winkeleisen stabilisiert wird. Es soll doppelt so lang wie breit werden. Es stehen 2 Meter Winkeleisen zur Verfügung. Welche Maße hat unter diesen Bedingungen ein Terarium mit maximalem Volumen?

1.) Skizze mit einem quaderförmigen terrarium, wo die breite=a, länge=b (a*2) und höhe c ist.

2.) V=a*b*c

3.) Nebenbedingungen:

2=2a+2b+4c

2=2a+2*(2*a)+4c = 2a+4a+4c /-4c  (nach c auflösen)

und jetzt brauch ich bitte einen Rechenweg mit Erklärung! einfach erstmal nach c auflösen, denn wenn ich nach c auflöse habe ich was anderes raus als meine Musterlösung bzw. ich werfe die vorzeichen durcheinander. Ich bekomme da c=1/2+3/2b raus, währenddessen die lösung c=1/2-3/2b lautet? irgendwie habe ich eine ganz kleinen fehler gemacht.

Answer 1

2=6a+4c  |-6a

2-6a=4c  |/4

2/4-6/4a=c

1/2 - 3/2a = c

Comments

danke ich habe den fehler gefunden ich habe c mit /-4c rübergehollt und habe mir das leben somit viel zu schwer gemacht und ja dein weg ist easy danke :D

Answer 2

l : Länge = 2 * b
b : Breite
h : Höhe

Winkeleisen = 2 m = 2 * l + 2 * b + 4 *h
2 m = 2 * 2* b + 2 * b + 4 *h
2 = 4 * b + 2 * b + 4 *h
2 = 6 * b + 4 * h

V = l * b * h
V = 2b * b * h
V = 2 * b^2 * h

2 = 6 * b + 4 * h
4 * h = 2 - 6 * b
h = 0.5 - 1.5 * b

V = 2 * b^2 * h
V = 2 * b^2 * ( 0.5 - 1.5 * b )
V ( b ) = 2 * b^2 * 0.5 - 2 * 1.5 * b^3
V ( b ) = b^2 - 3 * b^3
V ´( b ) = - 9 * b^2 + 2 * b
- 9 * b^2 + 2 * b = 0  | : -9
b^2  - 2/9 * b = 0
b * ( b - 2/9 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
b = 0
und
b = 2/9

Müßte stimmen.

Comments

jo habe ich auch so raus :) danke nochmals zur Veranschaulichung

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habe jetzt als breite 2/9, als höhe 0,167 und als länge 4/9 raus wie komme ich nun auf die Maße unter der Bedingung des maximalen volumens?

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Wenn dir mein Rechenweg bis hierhin
klar ist
V ( b ) = b² - 3 * b³
Das Volumen ist abghängig von der Breite

Graph

Wie man sieht gibt es einen Hochpunkt bei
dem das Volumen maximal wird.

Für diesen gilt : Steigung ist dort = 0.
Also die erste Ableitung bilden zu null
setzen und b berechnen.

1.Ableitung bilden
V ´( b ) = - 9 * b² + 2 * b
zu null setzen
- 9 * b² + 2 * b = 0  | : -9
b berechnen
b²  - 2/9 * b = 0
b * ( b - 2/9 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
b = 0  ( Tiefpunkt )
und
b = 2/9 ( Hochpunkt )

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Für welches b ∈ ℝ gilt b = 0 und b = 2/9 ?

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Gemeint war wohl:

Die Lösungsmenge enthält die Zahlen b₁ = 0 und b₂ = 2/9 .