Untersuchung einer Funktionenschar [war: Nullstelle notwendige bedinung und hinreichende bedingung y koordinate]

Question

a^2 x^4 -6x^2

Meine Aufgabe lautet: Gegeben ist die Funktionsschar f_a mit dem Parameter a, a>0. Untersuche den Graphen von f_a auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extrem- und Wendepunkte.

Answer 1

f_a(x) = a² x⁴ -6x² 

Meine Aufgabe lautet: Gegeben ist die Funktionsschar fa mit dem Parameter a, a>0. Untersuche den Graphen von fa auf Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen, Extrem- und Wendepunkte 

Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen,

mit y-Achse f(0) = 0 also (0;0) 

mit x-Achse   a² x⁴ -6x² = 0 

                    x² * (a² x² - 6)= 0

   x=0       oder   x² = 6/a²  

x=0       oder   x = ±√6/a   also 3 Nullstellen

Extrema:  1. Ableitung gleich 0 setzen

                      4a² x³ -12x = 0 

                                ...........

Wendepunkte:  2. Abl = 0 setzen

Answer 2

Funktion und Ableitungen

fa(x) = a^2·x^4 - 6·x^2 mit a > 0

fa'(x) = 4·a^2·x^3 - 12·x

fa''(x) = 12·a^2·x^2 - 12

Symmetrie

Achsensymmetrie zur y-Achse, da x nur in geraden Potenzen vorkommt.

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 0

Nullstellen f(x) = 0

a^2·x^4 - 6·x^2 = x^2·(a^2·x^2 - 6) = 0

x = 0 (2-fach)

x = ± √6/a

Extrempunkte f'(x) = 0

4·a^2·x^3 - 12·x = 4·x·(a^2·x^2 - 3) = 0

x = 0

x = ± √3/a

f(0) = 0 --> HP(0 | 0)

f(± √3/a) = - 9/a^2 --> TP(± √3/a | - 9/a^2)

Wendepunkte f''(x) = 0

12·a^2·x^2 - 12 = 0

x = ± 1/a

f(± 1/a) = - 5/a^2 --> WP(± 1/a | - 5/a^2)

Answer 3

fa(x) =0

x^2(a^2*x^2 -6)=0

x1=0

a^2 x^2=6

x=6/a^2

x2/3 = ±√6/a

Schnittp. mit y-Achse:

fa(0) = 0 --> S(0|0)

Extrema:

fa'(x)=0

4a^2x^3-12x=0

4x(a^2x^3-3)=0

x1=0

a^2x^3=3

x^3= 3/a^2

x2= (3/a^2)^{1/3}

Wendepunkt:

fa''(x) =0

12a^2x^2-12=0

a^2x^2=1

x^2=√1/a^2 = +-1/a

0

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^{a2 x4 -6x2}