Massendichte gesucht damit Seil nach vorgegebener Form durchhängt

Question

In dem Strang https://www.mathelounge.de/474385/vom-graphen-auf-dessen-gleichung wurde nach der Funktionsgleichung einer Hyperbel gefragt, woraufhin Unknown mit dem Term für eine Parabel antwortete (diese Antwort wurde allerdings ausgezeichnet).

In diesem Zusammenhang ergibt sich die Frage:
Wie muss die lineare Massendichte λ=λ(x)  (oder meinetwegen λ=λ(l))  eines Seils sein, damit es beim Durchhängen eine Kegelschnitt-Form annimt ?

Bei homogener Massenbelegung ergibt sich die bekannte Kettenlinie (eine cosh-Funktion), bei einer Dirac-förmigen Massenverteilung das Geradenpaar (Betrags-Funktion). Eine halbe Ellipse ist wegen des damit verbundenen vertikalen Kurvenverlaufs an den Aufhängepunkten nicht zu realisieren.
Bleibt die Frage nach Hyperbel und Parabel.

Comments

Woraus schließt Du, dass dort nach der Funktionsgleichung einer Hyperbel gefragt wurde?

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Meinetwegen füge das Wort "augenscheinlich" ein.

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Vielleicht hilft dir schon der beigefügte Link.

http://www.riemer-koeln.de/mathematik/klett/klett-ls-ef-dunkelblau/parabel-bruecken.pdf

Answer 1

Nach dem Link vom Mathecoach muesste dazu die Vertikalkomponente der Zugkraft im Seil linear mit der Abszisse \(x\) zunehmen anstatt linear mit der Seillaenge \(\ell\), wie es bei konstanter Dichte der Fall ist. Du bestimmst also \(\lambda(s)\) so, dass für die gewuenschte Parabelform \(\int_0^\ell\lambda(s)\,ds\) die Form \(\overline{\lambda}x\) hat. (\(x\) und \(\ell\) jeweils vom tiefsten Punkt aus gemessen).

Guckst Du hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary, insbesondere https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary#Generalizations_with_vertical_force: "If the density of the chain is variable then the analysis above can be adapted to produce equations for the curve given the density, or given the curve to find the density."