Differenzierbarkeit dieser Funktion (x*sin(1/x) für x=/0 und 0 für x=0)

Question

Würde mir um die Differentierbarkeit für 4)iii) gehen.

Ich wäre über gute Ansätze sehr dankbar :)

Lg

Answer 1

die interessante Stelle ist bei x=0.

$$ f'(0)=\lim_{h\to0}\frac { h*sin(\frac { 1 }{ h }) }{ h }=\lim_{h\to0} sin(\frac { 1 }{ h }) $$

Dieser Grenzwert existiert nicht. Daher ist die Funktion in x=0 nicht differenzierbar.

Answer 2

Zur Stetigkeit

f ( x ) = x * sin ( 1 / x )
lim x −> 0(+) [  1 / x  ] = unendlich
sin ( unendlich ) = nicht definiert
schwankt zwischen -1 und 1
x * sin ( 1 / x ) = 0 * ( -1..1 ) = 0
lim x −> 0(+) [ x * sin ( 1 / x ) ] = 0

ist ist daher
gleich : 0 für x = 0
Die Stetigkeit ist gegeben.