a) hast Du schon gelöst. Die Parameterform der Ebene \(e\) (Hang) könnte z.B. heißen
$$e(r,s) = D + r\cdot DA + s \cdot e_y$$ das macht: $$e(r,s) = \begin{pmatrix} 0\\0 \\ 2\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}10 \\ 0\\ -2\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$$
Die Geradengleichung des Lichtstrahls \(h(t)\) ist z.B.:
$$h(t) = S + t \cdot u= \begin{pmatrix} 5\\ 5\\ 30\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0\\ -2\\ -1\end{pmatrix}$$
Den Schnittpunkt des Lichtstrahls \(h\) mit der Hangebene \(e\) erhält man, wenn man beide gleich setzt \(e(r,s)=h(t)\) und eine Lösung für die Parameter \(r\), \(s\) und \(t\) sucht - also:
$$\begin{pmatrix} 0\\0 \\ 2\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}10 \\ 0\\ -2\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5\\ 5\\ 30\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0\\ -2\\ -1\end{pmatrix}$$
Umordnen ergibt$$r \begin{pmatrix}10 \\ 0\\ -2\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}+ t \begin{pmatrix} 0\\ 2\\ 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5\\ 5\\ 28\end{pmatrix} $$ oder anders geschrieben:
$$\begin{pmatrix}10 & 0 & 0 \\ 0 & 1& 2\\ -2 & 0& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} r\\ s\\ t\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5\\ 5\\ 28\end{pmatrix}$$ In diesem Fall reicht es aus, die oberste Gleichung \(10 r=5\) durch 5 zu dividieren und das Ergebnis \(2r=1\) zur untersten Gleichung \(-2r + t = 28\) zu addieren:
$$0r + t = 28+1 \quad \Rightarrow t=29$$ Nach Einsetzen in \(h(t)\) erhält man:
$$S'' = \begin{pmatrix} 5\\ 5\\ 30\end{pmatrix} + 29 \begin{pmatrix} 0\\ -2\\ -1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5\\ -53\\ 1\end{pmatrix} $$
Ich habe Dir das ganze noch mal im Geoknecht3D eingegeben:
(klick auf das Bild)
Gruß Werner
