Integral Erklärung (Umformen)

Question

ich habe mal bei diesem Integral die Stellen markiert, die ich nicht nachvollziehen kann. 

1. Wo ist das x hin bzw. warum ist das x^-0,5 dann negativ?

2. Wie kommt man von  x^-0,5 auf 2 Wurzel x? Wenn ich x^-0,5 um 1 erweitere und den Exponent nach vorne mache, dann bekomme ich 0,5x^0,5.

Answer 1

zu1)

√ x= x^{1/2}

x^{1/2}  /x = x^{1/2 -2/2}

=x^{-1/2}

Anwendung Potenzgesetz allgemein:

a^m/a^n=a^{m-n}

Zu 2)

Hier gibt es die folgende Integrationsregel:

∫ x^n dx= 1/(n+1) x^{n+1} +C

hier ist n= -1/2

-------->

= 1/(-1/2 +1) x^{-1/2 +1} +C

= 2 x^{1/2} +C

=2 √x +C

Answer 2

Hi,

x^{0,5}/x^1 = x^{0,5-1} = x^{-0,5}

und wenn man integriert muss der Exponent um 1 erhöht werden und mit diesem dann 1/(neuer Exponent) multipliziert werden. Also:

x^{-0,5+1}*1/(-0,5+1) = x^{0,5}/0,5 = 2*x^{0,5} = 2√x

Dabei ist 1/0,5 = 1/(1/2) = 2  (Kehrbruch multiplizieren und so)

Grüße

Answer 3

Verwende die Potenzgesetze:

$$ \frac { x^{1/2} }{ x }=x^{1/2}*x^{-1}=x^{1/2-1}=x^{-1/2}$$

Eine Stammfunktion zu

$$ f(x)=x^n $$

ist $$ F(x)=\frac { 1 }{ n+1 }x^{n+1} $$