Verschiedene Brüche im Kopf ausrechnen?

Question

Wie kann ich das gut kürzen damit man auf eine Lösung kommt?

Answer 1

Fasse paarweise von links nach rechts zusammen. Dabei wirst du feststellen, dass die gekürzten Zwischenergebnisse jeweils sehr handliche Brüche sind, deren Nenner immer ein Teiler des Nenners des folgenden Bruches ist, so dass der jeweils nächste Rechenschritt immer sehr einfach ist. Auf diese Weise lässt sich die Aufgabe tatsächlich leicht im Kopf rechnen.

(1/2 + 1/6) + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 + 1/110 =

(2/3 + 1/12) + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 + 1/110 =

(3/4 + 1/20) + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 + 1/110 =

(4/5 + 1/30) + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 + 1/110 =

...

Comments

Ich hoffe, es ist auch ein wenig deutlich geworden, dass die Folge der Teilsummen, die ich oben blau markiert hatte, es erlaubt, das Ergebnis der Summe ohne vollständige Rechnung zu bestimmen, selbst wenn es noch viel mehr Summanden wären oder die Summe gar endlos fortgesetzt würde.

---

So, ich versuche es mal mit Zerlegungen der Nenner:

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 + 1/110 =

1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(4*5) + 1/(5*6) +
1/(6*7) + 1/(7*8) + 1/(8*9) + 1/(9*10) + 1/(10*11)

Der n-te Summand a(n) genügt offenbar der Rechenvorschrift

$$ a(n) = \dfrac{1}{n\cdot(n+1)} $$und die Summe s(n) der ersten n Summanden kann berechnet werden durch

$$ s(n) = \dfrac{n}{n+1} = 1 - \dfrac{1}{n+1}. $$ Die vorliegenden 10 Summanden ergeben zusammen also

$$ s(10) = \dfrac{10}{10+1} = \dfrac{10}{11}. $$Eine schöne Aufgabe zur Bruchrechnung! :-)

Woher stammt die Aufgabe? Bruchrechnen 6. Klasse?

Answer 2

Den Hauptnenner suchen
1.) Primfaktoren
2  = 2
6 = 2 * 3
12 = 2 * 2 * 3
20 = 2 * 2 * 5
30 = 2 * 3 * 5
42 = 2 * 2 * 13
56 = 2 * 2 * 2 * 7
72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3
90 = 2 * 3 * 3 * 5
110 = 2 * 5 * 11

2  = 2
6 = 2 * 3
12 = 2^2 * 3
20 = 2^2 * 5
30 = 2 * 3 * 5
42 = 2^2 * 13
56 = 2^3 * 7
72 = 2^3 * 3^2
90 = 2 * 3^2 * 5
110 = 2 * 5 * 11

2^3 * 3^2 * 5^1 * 7^1 * 11^1 + 13^1
Hauptnenner
360360
Alle Brüche auf diesen Hauptnenner bringen
z.B.
1 / 12
360360 : 12 = 30030
( 1 * 30030 ) / ( 12 * 300030 )
30030 / 360360

Alle Brüche auf diesen Hauptnenner bringen
Wenn das geschehen ist dann die
Zähler addieren
( Summe Zähler ) / 360360

Na, hoffentlich geht das auf.

Bei Bedarf wieder melden.

Comments

Dürfte "im Kopf" nicht so ganz leicht werden.

Answer 3

Hallo BH,

den Hauptnenner 60 der ersten fünf Brüche sieht man leicht.

Wenn man dann bei den größeren Nennern (ab 1/42) der Reihe nach vorgeht und die Zwischenergebnisse immer wieder kürzt, bleiben die Zahlen so klein, dass man das wohl "im Kopf" schaffen kann:

 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 + 1/110

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30  =  30/60 + 10/60 + 5/60 + 3/60 + 2/60  = 50/60 = 5/6

5/6 + 1/42 = 35/42 + 1/42 = 36/42  = 6/7

6/7 +  1/56  = 48/56 + 1/56 = 49/56 = 7/8

7/8 + 1/72  = 63/72 + 1/72 = 64/72 = 8/9

8/9 + 1/90 = 80/90 + 1/90 = 81/90 = 9/10

9/10 + 1/110 = 99/110 + 1/110 = 100/110  = 10/11

Gruß Wolfgang