Umformung einer Reihe zur Geometrischen Reihe

Question

ich hab folgendes Problem mit einer Aufgabe dessen Lösung gegeben ist. Ein Teil davon besteht darin folgende Umwandlung zu verstehen.

$$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( -3 \right)  }^{ n }+{ 2 }^{ 3n+1 } }{ { 5 }^{ n }\cdot { 4 }^{ n } }  } =\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \left( \frac { -3 }{ 20 }  \right) ^{ n } } +2\cdot \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \left( \frac { { 2 }^{ 3n } }{ { 5 }^{ n } }  \right)  } ^{ n }$$

Die erste Summenformel ist mir klar, soweit bin ich selbst noch gekommen aber die zweite ist mir absolut unverständlich wie man darauf gekommen ist. Wie kommt man darauf?

PS: es geht um die Untersuchung von Grenzwerten, aber der Rest sollte mir klar sein sobald die Umformung verstanden wurde

Comments

Der zweite Sumand ist falsch. Hast du ihn richtig gelesen und abgeschrieben?

Answer 1

So, hier mal mein Vorschlag für eine mögliche Umformung:
$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( -3 \right)  }^{ n }+{ 2 }^{ 3n+1 } }{ { 5 }^{ n }\cdot { 4 }^{ n } }  } = \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \left( -\frac { 3 }{ 20 }  \right) ^{ n } } + 2\cdot \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \left( \frac { { 2 } }{ { 5 } }  \right)  } ^{ n } $$

Comments

Die Lösung war die eines Kommilitonen der fast alles richtig hatte. Zuerst dachte ich du hättest jetzt auch einen Fehler gemacht aber habe es dann doch begriffen.

4^n = 2*2^n, dadurch lässt sich 4^n rauskürzen so wie die 1 aus 2^{3n+1}. Das 2^3n wird zu 2*2^n und die zwei wird vor den Summanden gezogen.