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ich hab folgendes Problem mit einer Aufgabe dessen Lösung gegeben ist. Ein Teil davon besteht darin folgende Umwandlung zu verstehen.

$$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( -3 \right)  }^{ n }+{ 2 }^{ 3n+1 } }{ { 5 }^{ n }\cdot { 4 }^{ n } }  } =\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \left( \frac { -3 }{ 20 }  \right) ^{ n } } +2\cdot \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \left( \frac { { 2 }^{ 3n } }{ { 5 }^{ n } }  \right)  } ^{ n }$$


Die erste Summenformel ist mir klar, soweit bin ich selbst noch gekommen aber die zweite ist mir absolut unverständlich wie man darauf gekommen ist. Wie kommt man darauf?


PS: es geht um die Untersuchung von Grenzwerten, aber der Rest sollte mir klar sein sobald die Umformung verstanden wurde

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Der zweite Sumand ist falsch. Hast du ihn richtig gelesen und abgeschrieben?

1 Antwort

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So, hier mal mein Vorschlag für eine mögliche Umformung:
$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( -3 \right)  }^{ n }+{ 2 }^{ 3n+1 } }{ { 5 }^{ n }\cdot { 4 }^{ n } }  } = \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \left( -\frac { 3 }{ 20 }  \right) ^{ n } } + 2\cdot \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \left( \frac { { 2 } }{ { 5 } }  \right)  } ^{ n } $$

Avatar von 27 k

Die Lösung war die eines Kommilitonen der fast alles richtig hatte. Zuerst dachte ich du hättest jetzt auch einen Fehler gemacht aber habe es dann doch begriffen.

4n = 2*2n, dadurch lässt sich 4n rauskürzen so wie die 1 aus 23n+1. Das 23n wird zu 2*2n und die zwei wird vor den Summanden gezogen.


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