a) Die Frage ist: Wie viel Geld muss der Käufer heute zahlen bzw. zurücklegen können, um nach den angegebenen Zeiträumen über die dann geforderten Beträge zu verfügen?
Variante A: Er muss heute 1000 Euro zahlen sowie 2000 / 1,08 2 = 1714,68 Euro zu 8 % anlegen. Er muss also heute über insgesamt 2714,68 Euro verfügen können.
Variante B: Er muss heute über ( 1500 / 1,08 ) + ( 1600 / 1,08 2 ) = 2760,63 Euro, also über 46 Euro mehr als bei Variante A verfügen können.
Daher ist Variante A günstiger.
b) Beide Varianten sind bei demjenigen Zinssatz i gleichwertig, bei dem der Käufer heute jeweils über denselben Betrag verfügen können muss, wenn also gilt (setze k = 1 + i ) :
1000 + ( 2000 / k 2 ) = ( 1500 / k ) + ( 1600 / k 2 )
[mit k 2 multiplizieren:]
<=> 1000 k 2 + 2000 = 1500 k + 1600
[Zusammenfassen:]
<=> 1000 k ² - 1500 k = - 400
[durch 1000 dividieren:]
<=> k 2 - 1,5 k = - 0,4
[quadratische Ergänzung bestimmen und auf beiden Seiten addieren (oder pq-Formel, die aber fehleranfälliger ist):]
<=> k 2 - 1,5 k + 0,5625 = 0,1625
[rechte Seite mit zweiter binomischer Formel zusammenfassen:]
<=> ( k - 0,75 ) 2 = 0,1625
[Wurzel ziehen :]
=> k - 0,75 = +/- 0,403
<=> k = - 0,403 + 0,75 = 0,347 ODER k = 0,403 + 0,75 = 1,153
[ i = k - 1, also:]
i = - 0,653 (unbrauchbar) ODER i = 0,153 = 15,3 %
Der Zinssatz i müsste also nach meiner Rechnung 15,3 % betragen, damit beide Angebote gleichwertig sind. Der Käufer müsste bei diesem Zinssatz heute bei beiden Varianten über 2504,43 Euro verfügen können.
Bei dem als Lösung angegebenen Zinssatz i = 5,23 % ergibt sich bei Variante A:
1000 + 2000 / 1,0523 2 = 2806,14 Euro
bei Variante B hingegen:
1500 / 1,0523 + 1600 / 1,0523 2 = 2870,36 Euro
also nicht derselbe Betrag.
