Zeige für n ∈ ℕ dass gilt:
$$ n*\int { \sin ^{ n }{ (x)\quad dx } } =\quad -cos(x)*\sin ^{ n-1 }{ (x) } +\quad (n-1)*\int { \sin ^{ n-2 }{ (x) } \quad dx } $$
und berechne damit für alle n ∈ ℕ
$$ \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sin ^{ n }{ (x) } } dx $$
Zu ersterem habe ich mit Induktion versucht:
Induktionsanfang: n=1, kommt raus -cos(x) = -cos(x) passt.
Induktionsschritt:
$$ (n+1)*\int { \sin ^{ n+1 }{ (x)\quad dx } } \quad =\quad (n+1)*\int { \sin ^{ n }{ (x) } *\sin { (x) } \quad dx } \quad =\quad n*\int { \sin ^{ n }{ (x) } *\sin { (x) } \quad dx } +\int { \sin ^{ n }{ (x) } *\sin { (x) } \quad dx } $$
Weiter komme ich nicht, da ich nicht weiß, wie ich die Induktionsvoraussetzung einbauen kann.
Danke für Hilfe im Voraus