Zeigen, dass Aussage für natürliche Zahlen gilt.

Question

Zeige für n ∈ ℕ dass gilt:

 $$ n*\int { \sin ^{ n }{ (x)\quad dx }  } =\quad -cos(x)*\sin ^{ n-1 }{ (x) } +\quad (n-1)*\int { \sin ^{ n-2 }{ (x) } \quad dx }  $$

und berechne damit für alle n ∈ ℕ

$$ \int _{ 0 }^{ \pi  }{ \sin ^{ n }{ (x) }  } dx $$

Zu ersterem habe ich mit Induktion versucht:

Induktionsanfang: n=1, kommt raus -cos(x) = -cos(x)  passt.

Induktionsschritt:

$$ (n+1)*\int { \sin ^{ n+1 }{ (x)\quad dx }  } \quad =\quad (n+1)*\int { \sin ^{ n }{ (x) } *\sin { (x) } \quad dx } \quad =\quad n*\int { \sin ^{ n }{ (x) } *\sin { (x) } \quad dx } +\int { \sin ^{ n }{ (x) } *\sin { (x) } \quad dx } $$

Weiter komme ich nicht, da ich nicht weiß, wie ich die Induktionsvoraussetzung einbauen kann.

Danke für Hilfe im Voraus

Answer 1

1. Möglichkeit: verwende nun die partielle Integration um ein Integral mit sin^n(x)dx zu erzeugen und setze die Induktionsvoraussetzung ein

2. Möglichkeit: keine Induktion, leite die rechte Seite der Ausgangsgleichung direkt ab.

Siehe auch:https://de.wikiversity.org/wiki/Integral/Potenzen_von_Sinus/Rekursion/Beispiel

Comments

Hab es mit partieller Integration ausprobiert:

$$ (n+1)*\int { \sin ^{ n+1 }{ (x) } dx } \quad = $$ $$\quad (n+1)*\int { 1*\sin ^{ n+1 }{ (x) } dx } \quad =$$ $$\quad (n+1)\quad *\quad \left( x*\sin ^{ n+1 }{ (x) } -\int { x*(n+1)*\sin ^{ n+1 }{ (x) }  } *cos(x)dx \right) \quad =\quad (n+1)*(x*\sin ^{ n+1 }{ (x) } -(n+1)*\int { x*\sin ^{ n }{ (x) } *\cos { (x) } dx } ) $$

Ab da komme ich wieder nicht weiter.

Habe deine 2. Möglichkeit auch ausprobiert.

Die Ableitung der rechten Seite ist: $$ n*\sin ^{ n }{ (x) } $$

Was muss ich dann noch machen, denn es ist ja nicht das selbe wie auf der linken Seite.

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Zur partiellen Integration:

da steht doch sin^{n+1}(x)=sin(x)*sin^n(x) und nicht 1*sin^{n+1}(x)

so wie du oben in deiner Frage bereits angefangen hast. Rechne damit nochmal.

Zum Ableiten:

dass ist genau dasselbe.

Die zu beweisende Formel in Worten ausgedrückt lautet:

eine Stammfunktion zu n*sin^n(x) ist ... (die rechte Seite).

Wenn du die rechte Seite ableitest muss also n*sin^n(x) rauskommen.

Alles klar?