Umformung lim superior zu lim

Question

wie konnte man hier den lim sup auf den normalen limes zurückführen?
$$(1)\quad \quad lim\quad sup\quad (\sqrt [ n ]{ \frac { 1 }{ n }  } )\quad =\frac { 1 }{ lim\quad \sqrt [ n ]{ n }  } \\ \\ (2)\quad lim\quad sup\quad (\sqrt { \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } }  } )\quad =\quad { (\frac { 1 }{ lim\quad \sqrt [ n ]{ n }  } ) }$$
Habe leider nichts dazu gefunden, gibt es dazu ein allgemeines vorgehen? Evtl auch für den lim inf?

Answer 1

Wenn \(\lim a_n\) existiert, dann muss $$\liminf a_n=\limsup a_n=\lim a_n$$ gelten. Das ist doch offensichtlich: \(\liminf a_n\) ist der kleinste Haeufungswert von \((a_n)\) und \(\limsup a_n\) der groesste. Eine Konvergente Folge hat aber genau einen Haeufungswert, naemlich ihren Grenzwert.

Comments

Danke, klingt einleuchtend (darüber bin ich tatsächlich auch schon selbst gestolpert)!

Daraus erschließt sich mir aber nicht wieso bei der Umformung der limes im Nenner landet. Müsste er nicht vor dem gesamten Ausdruck stehen? Wie der lim sup zuvor?

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Schon mal was von Grenzwertsaetzen gehoert?

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Grenzwertsätze gegoogelt .... Problem gelöst. Danke^^