Aufgabe zu Binomialkoeffizient

Question

Sei n ∈ ℕ∪{0}. Zeige, dass für alle k ∈ {0,...,n} gilt

$$ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} $$ ∈ ℕ

wobei $$ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}:=\frac { n! }{ k!*(n-k)! } $$ den Binomialkoeffizienten "n über k" bezeichnet.

Hinweis: Beweise zu nächst die Identität:

$$ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}+\left( \begin{matrix} n \\ k+1 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} n+1 \\ k+1 \end{matrix} \right)  $$

Also habe ich den Hinweis befolgt und die Identität bewiesen indem ich zeigte, dass folgende Aussage gilt:

$$ \frac { n! }{ k!*(n-k)! } +\frac { n! }{ (k+1)!*(n-(k+1))! } =\frac { (n+1)! }{ (k+1)!*((n+1)-(k+1))! }  $$

Was muss ich dann noch tun? Oder habe ich damit die Aufgabe schon gelöst?

Answer 1

Ich tippe mal, dass das ein Beweis mit vollst. Induktion werden sollt.

Für n=0 gibt es nur ( n über 0 ) also ( 0 über 0 ) und

nach deiner Def. ist das 0! / ( 0! * 0!) = 1/1 = 1 also  ∈ ℕ.

Angenommen es ist für n ∈ ℕ die Aussage gezeigt, dann

muss für n+1 gezeigt werden:   alle  ( n+1 über k ) mit  k ∈ {0,...,n+1}

sind in   ℕ.

Für (n+1 über 0 ) ist das klar wegen der Def.

(n+1 über 0 ) = (n+1)! / ( 0! * (n+1)! )  =  (n+1)! /  (n+1)! ) = 1  ∈ ℕ.

Für alle anderen verwende deine bewiesene Gleichung und die

Tatsache dass die Summe zweier nat. Zahlen wieder eine nat. Zahl ist.