Im Prinzip wohl ok, aber man koennte es noch huebscher und praegnanter aufschreiben. Dann muss ein Leser nicht so viel raten.
Voraussetzung: $$(V)\quad\,\,\, A\cup B=A\cap B$$
Zu zeigen: $$A=B$$
Verwendete Definitionen:
$$(D_1)\quad A\cup B:=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}$$
$$(D_2)\quad A\cap B:=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}$$
Man sieht dann \(A\subset B\) wie folgt (es steht jeweils drueber, was verwendet wurde -- immer ganz nett):
$$x\in A\stackrel{(D_1)}{\Longrightarrow} x\in A\cup B\stackrel{(V)}{\Longrightarrow} x\in A\cap B\stackrel{(D_2)}{\Longrightarrow} x\in B$$
Aus Symmetriegruenden folgt \(B\subset A\) geradeso. Insgesamt hat man also \(A=B\) wie gewuenscht.
Zu Deiner zweiten Frage. Die Phrase "... genau dann, wenn ..." oder auch "... dann und nur dann, wenn ..." meint immer eine Aequivalenz. Es fehlt also noch der Teil \(A=B\Longrightarrow A\cup B=A\cap B\) zur Komplettierung der Aufgabe.
(Und mit Linearer Algebra hat die Aufgabe nicht das Geringste zu tun.)
