Aufgabe zu Schnittpunkten von zwei Graphen

Question

Ich versteh nicht ganz wieso diese Aufgabe so gelöst wurde.

Die Aufgabe lautet: Bestimmen sie die Schnittpunkte der Graphen von f und g mit f(x)= 5x^3 und g(x)= 2x^2-1/5x

Die Aufgabe wurde so gelöst

f(x)= g(x) <=> 5x^3 = 2x^2 - 1/5x <=> 25x^3 - 10x^2 +x =0 <=> x(25x^2 - 10x+1) =0 

Ich verstehe jz nicht, wie man auf zahlen 25 und 10 kommt. Weil wenn ich diese Gleichung löse, komme ich auf 5x^3+2x^2+1/5x = 0

Kann mir das jemand erklären

Answer 1

Schau von Zeile zu zeile was dort gemacht worden ist. Schreibe die Äquivalenzstriche dazu.

5·x^3 = 2·x^2 - 1/5·x

5·x^3 - 2·x^2 + 1/5·x = 0

25·x^3 - 10·x^2 + x = 0

x·(25·x^2 - 10·x + 1) = 0

Comments

Wenn ich das so anschaue wurde auf jeder Seite durch 1/5 geteilt. Aber wieso wurde das so gemacht und was für einen Nutzen hat das? Kannst du mir das erklären? Könntest du mir vielleicht auch erklären, warum der Schnittpunkt S(1/5|1/25) ist. Ich verstehe die 1/5, aber die 1/25 nicht.

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Es hat eigentlich keinen weiteren Nutzen außer, dass man kurzfristig keine Brüche mehr hat.

Um allerdings 25·x² - 10·x + 1 = 0 mit der pq-Formel zu lösen müsste man eh hier wieder durch 25 teilen. Aber man kann ja auch die abc-Formel nehmen.

Gründsätzlich ist es aber erstmal schön die Brüche wegzubekommen.

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Kannst du mir noch sagen, wie man auf die 1/25 hier kommt? Ich weiß nicht, wie ich diesen Wert berechnen soll.

S(1/5|1/25) 

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In dem du die 1/5 in ein der beiden ausgangsfunktionen einsetzt, z.b, in die f(x)=5x^3

f(1/5)=5*(1/5)^3=5*(1/125)=5/125=1/25

Answer 2

Wegen der Übersichtlichkeit kannst du bei
den Umformungen auch den Kommandstrich
verwenden.

5x³ = 2x² - 1/5 * x  | Alle x auf eine Seite durch
5x³ = 2x² - 1/5 * x  | - 2x^2 + 1/5 * x
5x³ - 2x² + 1/5 * x  = 0 | x ausklammern
x * ( 5x^2 - 2x + 1/5 ) = 0  |
Satz vom Nullprodukt anwenden
x = 0
und
5x^2 - 2x + 1/5 = 0  |
Lösbar mit der Mitternachtsformel,
pq-Formel oder quadratische Ergänzung

Bei Bedarf nachfragen.

Comments

Für welche x ∈ ℝ gilt
x = 0
und
5x² - 2x + 1/5 = 0 ?

Answer 3

"Ich verstehe jz nicht, wie man auf zahlen 25 und 10 kommt. Weil wenn ich diese Gleichung löse, komme ich auf 5x³+2x²+1/5x = 0"

Das ist doch gut! Davon ausgehend: Spricht etwas dagegen, \(5x\) auszuklammern... 

$$  5x^3+2x^2+\dfrac 15 \cdot x = \\\,\\ 5x \cdot \left( x^2 + 2 \cdot \dfrac 15 \cdot x +  \left(\dfrac 15 \right)^2 \right) = \\\,\\ 5x \cdot \left( x + \dfrac 15 \right)^2 = 0 $$...und die Nullstellen dann einfach abzulesen?

Answer 4

Die Nullstellenb kannst du hier direkt ablesen. Eine ist 0, weil überall x. dann teilst du durch x. jetzt machst du x so, dass einer der beiden therme 0 wird als faktor im produkt.