rekursive und explizite Formel für ausgeschnittene Quadrate?

Question

Wie kann man aus einer Figur die rekursive und explizite Formel erstellen. Es wird ja immer ein Quadrat mehr ausgeschnitten. Dann wäre a 1 beim ersten Bild die 1 und die Folge wäre 1,2,3,4,5 usw?

Die rekursive Formel a(n) = n+1?

und explizit???

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EDIT: Ohne den vollständigen Text kann man da vermutlich nicht viel machen. Bitte halte dich an die Schreibregeln (ganz unten)

Soll a_(n) die Anzahl der ausgeschnittenen Quadrate angeben?

Dann gilt a_(1) = 1

a_(2) = 2

a_(3) = 3

…

explizite Formel

a_(n) = n 

rekursive Formel

a_(n+1) = a_(n) + 1 .

Sollte es um die Flächen gehen, genügt das Zählen der Quadrate aber nicht.

Answer 1

Demnächst drauf achten, dass auch die Aufgabe sichtbar ist.

Und du sollst sicher keine Formel für die Anzahl der Quadrate finden die herausgeschnitten werden.

Für den Flächeninhalt

A(n) = a^2 - n·(a/(1 + 2·n))^2 = a^2·(1 - n/(2·n + 1)^2)

lim (n-->∞) A(n) = a^2

Comments

In deiner A(n)-Formel fehlt ein a^2.

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Danke für die Hinweis auf den Schreibfehler.

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Oh man. Ich soll aus dem Quadrat der Seitenlänge 1 ein Quadrat entfernen, so dass alle Teilstrecken der unteren Linie der Begrenzung gleich lang sind. Der Prozess  geht immer so weiter. Untersuche, ob der Umfang bzw. der Flächeninhalt der gesamten Figur einen Grenzwert hat.

Macht man das mit einer Formel?

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Ja, Mit der Fläche habe ich das ja oben gemacht. Ich habe nur allgemein ein Quadrat der Seitenlänge a genommen. Setze für a = 1 und du hast die Lösung für die Fläche.

Für den Umfang

U(n) = 4·a + 2·n·(a/(2·n + 1)) = a·(5 - 1/(2·n + 1))

lim (n --> ∞) U(n) = 5·a

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Danke, man das ist echt nicht einfach!

Answer 2

Es geht doch wohl um Umfang und Flächeninhalt der Figur.

Bei der Sache mit den ausgeschnittenen Quadraten etwa für den Umfang so

Das große Quadrat hat die Seitenlänge a.

von einer zur anderen Figur gibt es unten einen "Zacken" mehr.

Sie besteht aus waagerechten Stücken, die zusammen so lang sind wie a

und von einem zum anderen um je 2 senkrechte Stücke der

Länge a/n mehr .

Bei ersten sind es 2, dann 4 dann 6 etc.

Bei der n-ten Figur also 2n senkrechte Stücke

Die Länge dieser senkrechten Stücke ist beim

ersten a/3  dann a/5   dann a/7 also allgemein a/ (2n+1)

Also expilzite Formel:

u_n = 4a + 2n * (a/(2n+1)) =  4a + 2na / ( 2n+1)

Comments

Danke für die Antwort, leider habe ich die falsche Frage gestellt. Es geht darum, ob der Umfang oder der Flächeninhalt einen Grenzwert hat. Das Foto habe ich verbockt. Sorry!!!

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Formel war ja:

u_n = 4a + 2n * (a/(2n+1)) =  4a + 2na / ( 2n+1)

Der zweite Summand hat Grenzwert a, also

insgesamt lim =  5a.

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Danke für die ausführliche Erklärung. Ich versuche mal, das zu verstehen.