ganzrationale funktionen bestimmen mit punkten

Question

Hallo habe drei punkte gegeben A(0/0) B(1/0) C(2/3) und ich soll die funktionsgleichung bestimmen deren graph durch die Punkte verläuft das ist fx=ax^2+bx+c

Habe dann 3 gleichnungen rausbekommen

einmal c=0

c=1

4a+2b+c=3

Und jetzt soll ich das in einem Gleichungsystem einsetzen z.b mit additionsverfahren meine Frage ist jetzt kann ich irgendwelche 2 gleichungen nehmen von den 3 gleichungen die rausgekommen sind ?

Answer 1

Eine Seite die bei solchen Aufgaben hilft ist

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Ansatz

f(x) = ax^2 + bx + c

Bedingungen

f(0)=0

f(1)=0

f(2)=3

Gleichungen

c = 0

a + b + c = 0

4a + 2b + c = 3

Löse das Gleichungssystem und erhalte a = 1.5 ; b = -1.5 ; c = 0

f(x) = 1,5·x² - 1,5·x

Comments

Ein anderer Ansatz geht über die Nullstellenform, da ich beide Nullstellen kenne

f(x) = a * x * (x - 1)

Bedingung

f(2) = a * 2 * (2 - 1) = 3 --> a = 1.5

Also

f(x) = 1.5 * x * (x - 1)

---

Okay wie hast du jetzt das Gleichungsystem gelöst ?

---

c = 0

a + b + c = 0

4a + 2b + c = 3

c ist bekannt und wird in die anderen Gleichungen eingesetzt

a + b = 0

4a + 2b = 3

II - 2*I

2a = 3 --> a = 1.5

1.5 + b = 0 --> b = -1.5

---

Also von den 3 Gleichungen braucht man immer 1x variable die bekannt ist  ?

---

Nein du brauchst für 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Wenn es gut läuft sind dann aber schon unbekannte bekannt und können eingesetzt werden.

Nach einsetzten hast du hier noch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.

---

okay wie rechne ich den das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren ? Kann ich alles mit dem Additionsverfahren ausrechnen ?

habe

a + b = 0 

4a + 2b = 3

Das kenn ich ich aber wie komme ich da weiter was soll ich machen ?

---

Habe ich oben geschrieben "II - 2*I"

Subtrahiere von der 2. Gleichung das zweifache der 1. Gleichung.

---

Wie soll ich das machen ? ich verstehe gerade nicht.

a + b = 0  /?

4a + 2b = 3 /?

was kommt den an den Fragezeichen ?

---

a + b = 0 | *-2
-2a - 2b = -0

4a + 2b = 3

II + I

4a - 2a + 2b - 2b = 3 - 0

2a = 3

Answer 2

Hier einmal den kompletten Rechenweg

Angaben

A ( 0/0 )
B ( 1/0 )
C ( 2/3 )

f ( x ) = a * x^2 + b * x + c

Kurznotation

f ( 0 ) = 0
f ( 1 ) = 0
f ( 2 ) = 3

Einsetzen in f ( x ) = a * x^2 + b * x + c
f ( 0 ) = a * 0^2 + b * 0 + c = 0
f ( 1 ) = a * 1^2 + b * 1 + c = 0
f ( 2 ) = a * 2^2 + b * 2 + c = 3

ausmultiplizieren

f ( 0 ) =  c = 0
f ( 1 ) = a  + b  + c = 0
f ( 2 ) = 4 * a + 2 * b  + c = 3

lineares Gleichungssystem aufstellen

c = 0
a  + b  + c = 0
4 * a + 2 * b  + c = 3

da c = 0 ist ergibt sich

a  + b  = 0 
4 * a + 2 * b  = 3

a  + b  = 0  | * 4
4 * a + 2 * b  = 3

4 * a  + 4 * b  = 0 
4 * a + 2 * b  = 3  | abziehen
----------------------
4a + 4b - 4a - 2b = 0 - 3
2b = -3
b = -1.5

Einsetzen
a + b = 0
a + ( -1.5 ) = 0
a = 1.5

f ( x ) = 1.5 * x^2 - 1.5 * x

Comments

danke was hast du für ein verfahren benutzt ? beim gleichungsystem ?

---

Obwohl ich " abziehen " geschrieben habe, was
auch richtig ist, nennt sich das Verfahren
" Additionsverfahren ".
Lineare Gleichungssystem lassen sich durch Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren oder
Gaußverfahren lösen.
Im Internet gibt es sicher Lernsoftware darüber.

---

Was meinst du mit abziehen ? Meinst du damit - ? Weil in der nächsten Zeile benutzt du anstatt + benutzt du -

---

4 * a  + 4 * b  = 0 
4 * a + 2 * b  = 3  | abziehen
----------------------
4a + 4b - 4a - 2b = 0 - 3
2b = -3
b = -1.5

ich hoffe du kannst 2 Gleichungen voneinander
abziehen
a = b
c = d  | abziehen
------
a - c = b - d

4 * a  + 4 * b  = 0 
4 * a + 2 * b  = 3  | abziehen
----------------------
4a + 4b - ( 4a + 2b ) = 0 - 3
4a + 4b - 4a - 2b  = 0 - 3
2b = -3
b = -1.5

Noch ein Tip wie man immer ein
Gleichnungssystem mit 2 Unbekannten
lösen kann

3 * x + 4 * y = 234
2 * x + 3 * y = 123

Du multiplizierst die
1.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 2.Gleichung
und die
2.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 1.Gleichung

Dann sind die Koeffizienten gleich und du kannst das
Additionsverfahren anwenden.

3 * x + 4 * y = 234 | * 2
2 * x + 3 * y = 123 | * 3

6 * x + 8 * y = 468
6 * x + 9 * y = 369  | jetzt kann abgezogen
werden, x entfällt