Wie gehe ich bei dieser gebrochenen Betragsungleichung vor |2x-1|/|2-x| 'kleinergleich' 1

Question

(|2x-1|)÷(|2-x|)≤1

ich weiß nicht genau wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll. 
die Betragsstriche verwirren mich ebenso wie das kleiner gleich Zeichen.

Comments

Rwth Höma 1 physik?

Answer 1

Du: "ich weiß nicht genau wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll. 
die Betragsstriche verwirren mich ebenso wie das kleiner gleich Zeichen."

O je...

$$ \dfrac{\left|2x-1\right|}{\left|2-x\right|} \le 1 $$Ziehe die Betragsklammern nach außen...

$$ \left|\dfrac{2x-1}{2-x}\right| \le 1 $$...und löse den Betrag auf:

$$ -1 \le \dfrac{2x-1}{2-x} \le 1 $$Jetzt hast du einen Verwirrer weniger, während sich der andere verdoppelt hat. Das ist gut! :-) Zerlege nun den mittleren Term nach...

$$ -1 \le \dfrac{2(x-2)+3}{2-x} \le 1 $$...zu...

$$ -1 \le -2 + \dfrac{3}{2-x} \le 1 $$...und addiere \(2\):

$$ 1 \le \dfrac{3}{2-x} \le 3 $$Na gut, das \(x\) kommt jetzt zwar nur noch im Nenner vor, da gehört es aber nicht hin. Verwende einen kleinen Trick und stürze die ganze Ungleichungskette (= bilde die drei Kehrwerte):

$$ 1 \ge \dfrac{2-x}{3} \ge \dfrac 13 $$Multipliziere die Kette nun mit \(-3\) um den Nener des Mittelbruchs zu beseitigen und die Zählerdifferenz zu drehen:

$$ -3 \le x-2 \le -1 $$Addiere zum Schluss noch \(2\) und du bist fertig:

$$ -1 \le x \le 1 $$Das waren jetzt acht Schritte eines sehr ausfühlichen Rechenweges. Ich bedanke mich für die schöne Aufgabe!

Answer 2

(|2x-1|)÷(|2-x|)≤1

umgeformt für x≠2

(|2x-1|)≤1*(|2-x|)

|2x-1|≤|2-x|

Die Beträge kannst du auflösen, wenn du weißt, ob

x kleiner oder größer gleich 0,5 ist (der linke) und

x kleiner oder größer 2 ( gleich geht nicht (s.o.) ).

Also 1. Fall  x<0,5 dann hast du

-2x+1≤2-x  <=>  -1≤x also wegen x<0,5

gilt das im Intervall  [ -1 ; 0,5 [

2. Fall       0,5 ≤ x < 2 dann ist es

2x-1≤2-x  <=>  3x≤3 <=>  x≤1 also  im Intervall  [ 0,5  ; 1] .

3. Fall   x > 2 dann hast du   2x-1 ≤-2+x  <=> x ≤ -1

Das tritt in diesem Fall gar nicht ein.

Also insgesamt   L = [-1 ; 1] .

Das zeigt auch der Graph von (|2x-1|)÷(|2-x|)

Alles was nicht oberhalb von 1 liegt.

~plot~ abs(2x-1)/abs(2-x) ~plot~

Answer 3

( |2x-1| )÷ (|2-x|) ≤ 1

Es kommen nur positive Beträge vor.
Das Quadrat ist auch richtig
( 2x-1 )^2 ÷ ( 2-x )^2 ≤ 1
( 2x-1 )^2 ≤ 1 * ( 2-x )^2
4x^2 - 4x + 1  ≤ 4 - 4 x + x^2
3x^2 ≤ 3
x^2 ≤ 1
-1 ≤ x ≤ 1