Reelle Lösungen bestimmen

Question

Liebe Lounge!

Ich versuche nun schon seit ein paar Stunden diese Aufgabe zu lösen:

$$ \left| x\quad -\quad \frac { 1 }{ 2 }  \right| \quad +\quad \left| x\quad -\quad 1 \right| \quad =\quad 2\quad -\quad \left| x \right|  $$

Man solle alle reellen Lösungen der Gleichung finden.

Ich würde mich freuen, wenn ihr mir einen Tipp geben würdet, wie man an so eine Aufgabe geht. Ob es für diese Aufgabentyp z.B. ein richtiges Verfahren gibt. Bei quadratischen Gleichung kann man ja z.B. versuchen die pq-Formel zu nutzen.

Hier würde ich vermuten, dass man vielleicht Fallunterscheidungen nutzt?

Answer 1

| x- 1/2 | + | x-1 |  = 2 - | x |

Die Beträge entscheiden sich bei 1/2 und 1 und 0

also 1. Fall

x < 0  dann hast du   -x + 1/2 + (-x) + 1  = 2 - (-x)

                                 -2x + 3/2  = 2+x

                                  -3x = 1/2

                                      x = - 1/6    1. Lösung

0 ≤ x < 1/2  dann      -x + 1/2 + (-x) + 1  = 2 - x

                                               -2x + 3/2  = 2 - x

                                               - x  =  1/2   also x = -1 / 2 keine Lösung wegen x < 1/2

1/2  ≤ x < 1  dann      x - 1/2 + (-x) + 1  = 2 - x

                                             1/2  =   2 - x

                                                  x = 1,5  keine Lösung wegen x < 1

x ≥ 1           dann    x - 1/2 + x - 1   = 2 - x

                                   2x - 3/2  = 2 - x

                                            3x = 7/2

                                              x = 7/6  2. Lösung

           L = {  -1/6  ;   7/6  }

Answer 2

p q is hier nicht! schreibe mal alles in betragsstrichen auf eine seite und löse dann.

also sowas wie |x-0.5+x-1+x|=2den rest kannst du wahrscheinlich selbst.

Comments

@MathFox: Du darfst nicht so einfach so viele Betragsstriche eliminieren.

Answer 3

Unterscheide die Fälle

x<0,

0≤x≤1/2 ,

1/2 < x≤ 1

und

x> 1