Hallo Chrissi,
zu "1. Ist f(x0)<0 , so kann bei x0 kein lokales Maximum vorliegen" das ist falsch. Schau Dir unten die Parabel an - Hier ist \(f(x_0=0) = -1/2\) und es liegt ein lokales Maximum vor. Wo der absolute Funktionswert liegt, hat mit Maximum und Minimum nichts zu tun.
~plot~ -x^2/2-0.5;-1 ~plot~
zu "2. Ist f''(x0)<0 , so kann bei x0 kein lokales Maximum vorliegen" da ist auch falsch. Wenn die zweite Ableitung negativ ist, so heißt dass, dass die Funktion sich hier in einer Rechtskurve befindet. Aber genau das ist die Vorausetzung für ein Maximum. Oben in dem Plot ist die Horizontale Gerade die zweite Ableitung.
zu "3. Ist f''(x0)<0 , so liegt bei x0 ein lokales Maximum vor" Die Bedingung \(f''(x_0)<0\) ist zwar zwingend, aber keine hinreichende Bedingung für ein Maximum. Du siehst oben, dass die zweite Ableitung immer <0 ist, das Maximum ist aber nur an einer bestimmten Stelle - nämlich dort, wo auch die erste Ableitung =0 ist (nicht eingezeichnet).
