Trigonometrie und Differenzialgleichung. Schwingungsamplitude und Sonnenstand …

Question

Ich hab folgendes Problem und zwar schreibe ich eine Mathe Arbeit am Montag und wir haben ein Blatt mit Textaufgaben bekommen und da sind einige Aufgaben die ich überhaupt nicht verstehe. Wir haben zwar eine Lösung dazu bekommen, aber leider ohne Rechenweg deshalb komme ich nie aufs richtige Ergebnis. Die Aufgaben die ich nicht verstehe sind einmal die Nr.4b) die Nr.5; und bei der Nr.6 wie man a und b berechnet und was k bedeuten soll. Und noch die Nr.7 und Nr.8 (siehe Bild). Ich weiß es ist echt viel, aber ich komme einfach nicht weiter. Könnt ihr mir bitte helfen??

Comments

EDIT: Bitte eine Frage pro Frage und Text auch als Text eintippen: https://www.mathelounge.de/schreibregeln

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Tut mir leid. Ich werde mich zukünftig daran halten.

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Hallo Cecilia,

welche Hilfsmittel dürf ihr benutzen?

In Aufgabe 4b brauchst Du z.B. bloß die Werte einzusetzen, g = 9,81 m/s^2 ist dabei die Fallbeschleunigung. Wenn ihr eine Formelsammlung benutzen dürft, kannst Du für die Auslenkung y(t) den Term der Formelsammlung entnehmen. https://www.leifiphysik.de/mechanik/mechanische-schwingungen

In Aufgabe 5 kann man einen sinusförmigen Verlauf vermuten, wenn man die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet. Wenn ihr einen Taschenrechner benutzen dürft, der Sinus-Regression kann, dann würde Dir der Rechner die Lösung ausspucken.

Answer 1

Hallo noch einmal :-O
 
6)

bei der Nr.6 wie man a und b berechnet und was k bedeuten soll.

k ist ein Parameter, der Einfluss auf die Form des Graphen hat.
k streckt und staucht den Graphen in x-Richtung und hat damit Einfluss auf die Periodenlänge.
Guck Dir an, welchen Einfluss die verschiedenen Parameter haben, z.B. guckst Du hier(Weiter unten findest Du unter "Zum Ausprobieren im Applet" Regler zum verändern der Parameter.):
https://de.serlo.org/mathe/funktionen/wichtige-funktionstypen-ihre-eigenschaften/trigonometrische-funktionen/verschieben-strecken-trigonometrischen-funktionen

ymax = 41,3
ymin = 5,6

b ist der Mittelwert(Ruhelage), um den die cos-Funktion schwingt
b = (ymax + ymin)/2 = (41,3 + 5,6)/2 = 23,45
a ist die Aplitude, der maximale Ausschlag aus der Ruhelage.
a = ymax - b = 17,85

Die Messwerte beziehen sich auf einen 24-Stunden-Tag, demnach ist die
Periodendauer 24 Stunden. Die Formel für die Periodendauer ist T = 24 = 2*pi/|k| und daraus k = pi/12.

Das wären die Parameter a, b und k und die Funktion wäre demnach
f(x) = a cos(kx) + b = 17.85*cos(pi/12 * x) + 23.45
Wenn Du mich fragst, ist die angegebene Funktion f(x) = a cos(kx) + b
unvollständig, weil sie den Parameter c, der für die Verschiebung des Graphen in x-Richtung sorgt, nicht enthält.
Der Maximalwert in der Tabelle ist bei x=12 und nicht bei x = 0.
Demnach kann die Funktion auch nicht die Tabellenwerte modellieren. Der Parameter c ist hier die Rettung und damit sieht unsere Funktion dann so aus: f(x) = a*cos(k(x + c)) + b
Der Maximalwert ist an der Stelle x=12, wir verschieben den Graphen um 12 Einheiten(Stunden) nach rechts mit c = -12. Die Funktion ist jetzt f(x) = a*cos(k(x + c)) + b = 17.85*cos(pi/12*(x-12)) + 23.45

Gruuhuuß

Comments

Sehr gern, danke für den Stern! :-)

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Demnach kann die Funktion auch nicht die Tabellenwerte modellieren.

Diese Aussage ist mit deiner Begründung falsch.

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HIer ist Nr. 7

Kosinusfunktion allgemein: f(x) = a·cos(b(x + c)) + d

Wir haben hier f(t) = 50·cos(π/180·t) + 200 mit den Parametern a = 50, b = π/180, c = 0,  d = 200, x = t.
Die Funktion schwingt um die Ruhelage b = 200 mit einer Amplitude von a = 50, d.h. die Maxima sind ymax = b + a = 250 und die Minima sind ymin = b - a = 150.

Periodendauer T:
T = 2·π/|b|
T = 2·π·180/π
T = 360

Bei einer Periodendauer von 360 Tagen können wir die x-Achse so einteilen, dass 1° einem Tag entspricht.
Es ist c = 0, die Funktion ist nicht in x-Richtung verschoben. D.h. die Maxima sind, bei t=0 und bei t=360, das Minimum liegt in der Mitte bei t=180.

Soweit unsere vorbereitete Skizze
 

Es fehlen noch ein paar Zwischenwerte. Die bekommst Du auch einfach von Deinem Taschenrechner.)

Allgemein gilt
cos(30°) = cos(330°) = 1/2·√3
cos(45°) = cos(315°) = 1/2·√2
cos(60°) = cos(300°) = 1/2
cos(90°) = cos(270°) = 0

Für unsere Funktion bekommen wir
f(30) = f(330) = 50·cos(30) + 200 = 50·1/2·√3 + 200 ≈ 243
f(45) = f(315) = 50·cos(45) + 200 = 50·1/2·√2 + 200 ≈ 235
f(60) = f(300) = 50·cos(60) + 200 = 50·1/2 + 200 = 225
f(90) = f(270) = 50·cos(90) + 200 = 50·0 + 200 = 200

Nutzung der Symmetrien
-cos(30°) = cos(150°) = cos(210°) = -1/2·√3
-cos(60°) = cos(120°) = cos(240°) = -1/2
f(150) = f(210) = 50·(-1/2·√3) + 200 ≈ 157
f(120) = f(240) = 50·(-1/2) + 200 = 175

Jetzt haben wir eine ganze Menge von Punkten, die für eine Skizze reichen sollten

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8a :-O :-O

Sinusfunktion allgemein: g(x) = a·sin(b(x+c)) + d. Gesucht: a,b,c,d.

Periodendauer: T = 12 Monate
Maximum: 17,5
Minimum: -2,1
Mittelwert: d = (17,5 - 2,1)/2 = 7,7
Amplitude: a = 17,5 - 7,7 = 9,8

T = 2·π/|b| ⇒ b = 2·π/T
b = 2·π/12 = π/6

Wir sind fast fertig, bisher haben wir g(x) = 9,8·sin(π/6(x+c)) + 7,7

Fehlt noch der Parameter c. c darf nicht Null sein, sonst wäre g(0) = 7,7 und das harmoniert nicht mit unseren Tabellenwerten.
Wir müssen laut Aufgabenstellung c so wählen, dass g(0,5) = -2,1 ist.
Für c = 0 ist ein Minimum an der Stelle x = -3 d.h. g(-3) = -2,1
Das Minimum soll sich aber an der Stelle x = 0,5 befinden. Wir setzen daher c = -3,5.
Dann Entspricht
Januar x = 0,5
Februar x = 1,5
usw.

Unsere Funktion ist g(x) = 9,8·sin(π/6(x - 3,5)) + 7,7

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@hj2166
Dir auch einen schönen guten Abend! :D

Demnach kann die Funktion auch nicht die Tabellenwerte modellieren.

Diese Aussage ist mit deiner Begründung falsch.

Mit welcher Begründung?

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Die Begründung, dass der angegebene Funktionsterm die Messdaten nicht modellieren könne, weil er keine Horizontalverschiebung enthält, ist falsch.

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6.

f(x) = - 17.85·COS(pi/12·x) + 23.45

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Ja, ist mir klar ich meinte mit welcher Begründung deinerseits. D.h. wie sieht die Funktion ohne diese Verschiebung aus?

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Ah, okay, sehr schön! :-)
Auf die Idee kam ich nicht.

Answer 2

5.

Wenn man den Verlauf durch eine Sinusfunktion modelliert könnte bei f(0) = 21 der Tiefpunkt und f(6) = ? der Hochpunkt sein.

Bei f(3) = 28 wäre dann die Mittellage. Dann wäre der maximale Wert bei 35.

Näherungsweise modellierbar über:

f(x) = - 7·COS(1/6·pi·x) + 28

Comments

4. b)

Da brauchst du doch nur einsetzen

T = 2·pi·√(l/g) = 2·pi·√((2 m)/(9.81 m/s^2)) = 2.837 s

Nun noch die Funktion aufstellen

s(t) = 0.1731·cos(2.215·t)

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Ach so okay. Vielen vielen Dank !!

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6.

f(x) = - 17.85·COS(pi/12·x) + 23.45