durch 0 ergänzen und Betragsquadrate reinziehen

Question

Ich zerbreche mir gerade den Kopf über einen vermutlich recht grundlegenden Rechenschritt, aber ich komm einfach nicht darauf... 
Warum gilt für reelle Zahlen y, a und b: 
|y|² ≤ |y+a|² + |-a+b|² + |-b|²      ??

Ich dachte zunächst: "Ja klar, einfach y durch y+a-a+b-b ergänzen, dann den Betrag reinziehen, und eben noch quadrieren" - aber.... Ja, wenn ich Beträge irgendwo reinziehe, wirds größer(-gleich), insbesondere durch diesen "ergänze geschickt mit der 0" (+a-a+b-b), aber das reinziehen von Betragsquadraten macht Summen ja nicht zwangsläufig größer....

z.B. ist |0.1+0.1|² = 0.04, aber |0.1|² + |0.1|² = 0,02 ... 

Könnte mir bitte jemand weiterhelfen? :-(

Comments

Die Antwort von jc2144 hast du gesehen? Kann es sein, dass die Quadrate da nicht stehen sollen?

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Ja habe ich. Und nein, die Quadrate sollen da stehen. 
Ich habe bereits ganz unten auf Der_Mathecoach's Beitrag dazu geantwortet. Mitlerweile habe ich auch eine Antwort vom Author, und die Lösung waren multiplikative Konstanten, die nicht weiter erwähnt wurden, weil sie am Ende keine Rolle mehr spielten. 
Die Ungleichung soll wohl stimmen (habs noch nicht selbst nachgerechnet), wenn man die komplette rechte Seite der Ungleichung noch mit "3" multipliziert....

Trotzdem nochmals: Leute!!

Answer 1

|y|² ≤ |y+a|² + |-a+b|² + |-b|² 

für a > 0
|y|² ≤  ( > y^2 ) + ( > 0 ) + ( > 0 ) stimmt
für a = 0 und b =0
|y|² ≤  ( = y^2 ) + ( = 0 ) + ( = 0 )
|y|² =  ( = y^2 ) + ( = 0 ) + ( = 0 ) stimmt also auch

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Warum sollte das denn stimmen ?

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Korrektur
|y|² ≤ |y+a|² + |-a+b|² + |-b|² 
ist daselbe wie
(y)² ≤ (y+a)² + (-a+b)² + (-b)² 
ausmultiplizieren
y^2 ≤ y^2 + 2ay + a^2 + a^2 - 2ab + b^2 + b^2
0 ≤ 2ay + 2a^2 + 2b^2
0 ≤ ay + a^2 + b^2

Es gibt jetzt genug Gegenbeispiele
bei der die Aussage unwahr wird.

a = 1
b = 2
y = - 6
0 ≤ -6 + 1 + 4

Answer 2

|y|^2 ≤ |y + a|^2 + |-a + b|^2 + |-b|^2

Setze mal

a = b = 1 und y = -2

|-2|^2 ≤ |-2 + 1|^2 + |-1 + 1|^2 + |-1|^2

4 ≤ 1 + 0 + 1

4 ≤ 2

Aha. Wer behauptet also, dass das so gültig ist?

Comments

Nun... Ein Professor in seiner Publikation ^^ 
Ich hab es nur runtergekocht, damit man die eigentliche Abschätzung erkennen kann - in Wirklichkeit stehen da bedingte Erwartungswerte und statt Beträgen, Normen, und allerlei ekligere Terme.... 
Aber die sollten das auch nicht "möglicher" machen in meinen Augen... Dann werd ich wohl den Author direkt kontaktieren müssen... 

!!

Answer 3

das wäre ohne die ganzen Quadrate richtig (Dreiecksungleichung), so aber nicht.