Behauptung: Seien A,B beliebe Mengen, dann gilt AΔB=∅ ⇔ A=B . ( AΔB:=(A\B)∪(B\A)
⇐: Seien A,B beliebige Mengen. Desweiteren sei A=B.
AΔB=(A\B)∪(B\A) . Aus A=B folgt, AΔB=(A\B)∪(B\A)=(A\A)∪(B\B)=∅∪∅=∅ . Die dritte Gleichheit folgt aus der Def. der Differenz und die Vierte aus der Def. der Vereinigung.
Ich frage mich, ob ich das so richtig bewiesen habe, oder ob ich das für ein beliebiges Element beweisen muss. Also über x ∈ AΔB⇔x ∈ (A\B)∪(B\A) ⇔ ( x ∈(A\B)) ∨ (x ∈ (B\A)) ⇔ ... ⇔ x ∈ ∅.
Das geht beides !
⇒: Bei der Hinrichtung brauch ich eure Hilfe. Ich weiß nicht ob, ich diese wie die Rückrichtung auch direkt zeigen kann, oder ob ich eher einer Widerspruchsbeweis führen sollte.
z.B. so : Seien A,B Mengen mit AΔB=∅
==> (A\B)∪(B\A)=∅ ==> A\B=∅ ∧ B\A=∅
Sei nun x ∈ A .Angenommen, es wäre x ∉ B
==> x ∈ A ∧ x ∉ B ==> x ∈ A\B im Widerspruch zu A\B=∅
Also gilt für alle x ∈ A auch x ∈ B, also A⊆B. #
Sei nun x ∈ B .Angenommen, es wäre x ∉ A
==> x ∈ B ∧ x ∉ A ==> x ∈ B\ A im Widerspruch zu B\A=∅
Also gilt für alle x ∈ B auch x ∈ A, also B⊆A. ##
# und ## ergeben zusammen A=B .
