2 Gleichungen mit Logarithmus

Question

Hallo liebe Leute,

folgende zwei Gleichungen bereiten mir etwas Kopfzerbrechen:

1. (ln(x))^2-ln(x)-1=0

Von der Form her sieht es ja erstmal nach einer "normalen" quadratischen Gleichung aus, die sich dementsprechend mit Mitternachtsformel bzw. p/q-Formel berechnen lässt. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das hier mit den natürlichen Logarithmen in die Formel schreiben soll. Kann mir da mal jemand einen Denkanstoß geben?

2. 5^{2log(x^2-1)}=10

Dies wiederrum entspricht ja einer Exponentialgleichung.

Habe mal ohne großartigen Plan ein bisschen rumprobiert und das einzige, was mir in den Sinn kam, ergab folgendes:

2*log(x^2-1)=log5(10)

=> 2*log(x^2-1)=1/(log(5))

Weiß aber nicht, ob mir das was bringt und wenn ja, wie ich hier sinnvoll weitermache. Auch hier wäre ich für einen Denkanstoß ausgesprochen dankbar.

 

Answer 1

Hi,

1.

Du hast genau die richtige Idee beim ersten -> pq-Formel. Substituiere damit sich leichter arbeiten lässt.

Also ln(x)=u

$$u^2-u-1 = 0\quad   |\text{pq-Formel}$$

$$u_1 = \frac12(1-\sqrt5) \quad u_2 = \frac12 (1+\sqrt5)$$

Nun wieder resubstituieren:

$$x_1 = e^{\frac12(1-\sqrt5)}$$

$$x_2 = e^{\frac12(1-\sqrt5)}$$

2.

Ich mach mal weiter, wo Du aufgehört hattest (soweit richtig)

$$2*\log(x^2-1)=\frac{1}{\log(5)}  \quad| :2 \quad\text{e anwenden}$$

$$x^2-1 = 10^{\frac{1}{2\log(5)}}$$

$$x_{1,2} = \pm\sqrt{1+10^{\frac{1}{2\log(5)}}}$$

Alles klar?

Grüße