Entscheiden Sie aus der Definition, ob folgende Folgen konvergent sind: a_n=(2n+1)/(3n-2)

Question

a_n=(2n+1)/(3n-2)

Meine Lösung ist:
Wir zeigen, dass für alle ε ein n₀(ε) existiert, so dass für alle m,n > n₀(ε)

|a_m - a_n| < ε

Also:

|a_m - a_n| = |(2m+1)/3m-2)   -  (2n+1)/(3n-2)|  =  | 2/3 - 1/2  - 2/3 - 1/2| = -1 < ε

Kann das richtig sein? Aber was sagt, mir das jetzt konkret?? Ist diese Gleichung konvergent oder nicht?

Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. !

Comments

Du zeigt auf diesem Weg (wenn du richtig rechnest), dass es sich um eine Cauchyfolge handelt. Dies ist hinreichend für Konvergenz  über |R .

Verwende stattdessen die klassische Definition der Konvergenz. Den Grenzwert 2/3 kann man wie üblich vorher erraten.

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Nein, das ist, von den Klammer- und Rechenfehlern mal abgesehen, ganz und gar nicht richtig. Vielleicht schreibst du zunächst mal die von dir benutzte Definition an und suchst dir ein Rechenbeispiel dazu.

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Gast jc2144  das habe ich auch ausprobiert!

Kann es dann sein, dass nach diesem Rechenweg zum Schluss

3/(3n-2) < ε          steht?

Aber ist die Aussage mit dieser Lösung konvergent?

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Konvergent ist sie ohnehin. Wie sieht denn deine Rechnung dazu aus? Im folgenden musst du natürlich noch nach n umstellen.

Answer 1

Falls du das hier versucht hast...

$$ \left| \dfrac { 2n+1 } { 3n-2 } - \dfrac { 2 } { 3 } \right| \lt \varepsilon $$ ...solltest du nach Zusammenfassen dies bekommen:
$$ \left| \dfrac { 7 } { 9n-6 } \right| \lt \varepsilon $$

Comments

Gast az0815  darf ich fragen, wie du im Nenner auf 9n -6 kommst?

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Das ist das kgV der beiden Nenner.

Vgl. hhttps://www.matheretter.de/wiki/bruch#subtraktion

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Ich habe die Brüche gleichnamig gemacht indem ich die Nenner miteinander multipliziert habe. Hier also \((3n-2)\cdot3=9n-6\).

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Nun muss ja noch nach n umgestellt werden:

Stimmt dann? :

7/9ε  +6   < n ?

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Richtig wäre:

(7/ε + 6)/9 < n

Answer 2

Die Folge ist konvergent. Der Grenzwert ist 2/3.

Gemäß der Definition ist zu zeigen, dass  für ein beliebiges frei wählbares ε

Betrag aus a_n minus g ab einem bestimmten n₀ kleiner ist als ε.

D.h. die Rechnung muss lauten Betrag( (2n+1)/( 3n-2)- 2/3 ) < ε.

Wenn man die Rechnung ausführt, ergibt sich 7/ ( 9n - 6 ) < ε.

Da es sich bei diesem Term um eine Nullfolge handelt, gibt es immer ein n₀ ab welchem

fast alle a_n mit n > n₀ in der sogenannten ε - Umgebung von 2/3 liegen.