Beweisen Sie, für alle U ⊂ X gilt f(X \ U) ⊃ f(X) \ f(U).

Question

Beweisen Sie für beliebige Mengen X und Y und eine Abbildung f : X → Y jeweils die Aussagen:

a) Für alle U ⊂ X gilt f(X \ U) ⊃ f(X) \ f(U).

Zeigen Sie an einem geeigneten Beispiel, dass Gleichheit nicht notwendig gelten muss.

b) Für alle U ⊂ Y gilt f ^-1(Y \ U) = X \ f ^-1(U).

Answer 1

a) Sei y ∈ f(X) \ f(U) und x ∈ X mit f(x) = y.

Wegen y ∉ f(U) gibt es kein u∈U mit f(u) = y. Also muss x ∈ X\U sein. Somit ist y ∈ f(X\U).

Beispiel zu f(X\U) ≠ f(X) \ f(U): f: ℝ\{0}→ℝ, x↦1/x² , X = (0,∞), U = (-∞,0).

b) Zeige f ^-1(Y \ U) ⊂ X \ f ^-1(U) und f ^-1(Y \ U) ⊃ X \ f ^-1(U).

f ^-1(Y \ U) ⊂ X \ f ^-1(U) zeigt man genau so wie oben: man postuliert ein x ∈ f ^-1(Y \ U) und argumentiert dann, warum auch x ∈ X \ f ^-1(U) gelten muss.