Steht eine Ebene senkrecht auf einer Geraden, so ist der Richtungsvektor der Geraden gleichzeitig der Normalenvektor der Ebene. Da auch noch ein Punkt \(A=(5|3|1)\) der Ebene gegeben ist, folgt daraus direkt die Normalenform der Ebene \(e\):
$$e: \space \vec x \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 4\end{pmatrix}= 5 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 4= 12$$
Und die Koordinatenform ist die Normalenform - nur in etwas anderer Darstellung:
$$e: \space x + y + 4z = 12$$
Gruß Werner
