formaler Beweis, Studium

Question

ich komme an einer Stelle bei meinen Hausaufgaben einfach nicht weiter.

Aufgabe : Es sollen 2 zweistellige Zahlen miteinander multipliziert werden, die die gleiche Zehnerziffer haben und deren Einzelziffer addiert 10 ergeben, z.B 39 und 31.

Man multipliziert die Ziffer an der Zehnerstelle mit ihrem Nachfolger und erhält so die ersten beiden Ziffern der Produkts(hier 3 mal (3+1)=12). Um die letzten beiden Ziffern zu erhalten, muss man nur noch die beiden Einzelziffern ,miteinander multiplizieren.(hier 9 mal 1 =09) Das Ergebnis ist 1209.

Nun zur Frage

Beweise oder Wiederlege die Behauptung "das Verfahren in korrekt"  formal mit genauer Festlegung der Variablen.

Also mit Bustabenvariablen, hat irgendwer eine Ahnung ich verstehe es einfach nicht.

Würde mich sehr freuen wenn jemand helfen würde.

Answer 1

Erste Zahl  10*x + y dann ist die zweite 10*x+(10-y) = 10(x+1) -y

Die roten sind die Einerziffern !

Produkt ist (  10*x + y ) * ( 10(x+1) -y )

 = 100*x(x+1) + y *10(x+1) - 10xy - y²

= 100*x(x+1) + 10xy+10y - 10xy - y²

= 100*x(x+1)   + 10y  - y²

= 100*x(x+1)   + y*(10-y)   vgl. oben die roten !

Passt also !

Answer 2

> die die gleiche Zehnerziffer haben ...

Die nenne ich z.

> und deren Einzelziffer addiert 10 ergeben

Die eine nenne ich e, dann ist die andere 10-e.

> Man multipliziert die Ziffer an der Zehnerstelle mit ihrem Nachfolger

Dann bekommt man z·(z+1).

> Um die letzten beiden Ziffern zu erhalten, muss man nur noch die beiden Einzelziffern ,miteinander multiplizieren.

Das heißt zweierlei:

1. Das Ergbnis von z·(z+1) bilden die Tausender- und die Hunderterstelle. Das bekommt man aus z·(z+1) duch mutltiplikation mit 100.
2. Man muss die beiden Endziffern mltiplizieren. Dadurch bekommt man e·(10-e).

Addiert man beides, dann bekommt man 100·z·(z+1) + e·(10-e).

> Es sollen 2 zweistellige Zahlen miteinander multipliziert werden

Die eine lautet 10z + e, die andere lautet 10z + (10-e). Multipliziert man diese beiden, dann bekommt man (10z + e)·(10z + (10-e)).

Ist 100·z·(z+1) + e·(10-e) = (10z + e)·(10z + (10-e)), falls z und e aus der Menge {1,2,3,4,5,6,7,8,9} sind?