Inkreis formaler geometrischer Beweis

Question

\( \overline{A B} \) ist der Durchmesser eines Halbkreises \( k . \) C ist ein beliebiger Punkt auf dem Halbkreis (verschieden von A und B), und M ist der Mittelpunkt des Inkreises von \DeltaABC.
Dann

A. andert sich die Größe von \( \angle \mathrm{AMB} \), wenn sich \( \mathrm{C} \) auf \( k \) bewegt.
B. bleibt die Größe von \( \angle A \) MB für jede Lage von C gleich, kann aber, ohne den Radius zu kennen, nicht berechnet werden.
C. \( \quad \angle \mathrm{AMB}=135^{\circ} \) für alle \( \mathrm{C} \)
D. \( \angle \mathrm{AMB}=150^{\circ} \) für alle \( \mathrm{C} \).
a. Lösen Sie diese Aufgabe aus der Vorlesung. Sammeln Sie dazu möglichst viele Ideen und Gedanken, um schnell herauszufinden, welche der vier Antwortmöglichkeiten richtig ist.

b. Beweisen sie formal korrekt die richtige Antwort.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: besonderer Mittelpunkt Dreieck

Stichworte: dreieck

Wie Löse ich diese Aufgabe?

Text erkannt:

\( = \)

Answer 1

Hallo Sally,

A. andert sich die Größe von \(\angle AMB\), wenn sich \(C\) auf \(k\) bewegt?

Nein, siehe dazu folgende Zeichnung:

Die blauen Winkel seien \(\alpha/2\) und die gelben \(\beta/2\). Da \(\gamma\) (schwarz bei \(C\)) immer \(\pi/2\) ist, gilt$$ \begin{aligned}\alpha + \beta &= \frac {\pi}2 && |\, \div 2\\ \frac {\alpha}2 + \frac {\beta}2 &= \frac{\pi}4 = \text{konstant}\end{aligned}$$Wegen der Winkelsumme im Dreieck \(\triangle ABM\) ist \(\varphi\) (grün)$$\varphi = \pi - \left( \frac {\alpha}2 + \frac {\beta}2\right) = \frac 34 \pi \equiv 135°$$

B.) siehe (A)

C.) Ja - siehe (A)

D.) Nein - siehe (A)

Ein paar Gedanken:

- da \(\angle AMB\) konstant ist, bewegt sich \(M\) mit der Bewegung von \(C\) auf einem Kreis. Der Mittelpunkt \(K_2\) dieses Kreises liegt auf \(k\). Den Beweis dafür überlasse ich Dir ;-)

- \(C\), \(M\) und \(K_2\) liegen auf einer Geraden.

Gruß Werner

Answer 2

Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

Das Dreieck ABM hat also die Innenwinkel \(\alpha/2\), \(\beta/2\) und \(\varphi\).

\(\alpha/2+\beta/2+\varphi=180^\circ\)

Außerdem gilt \(\alpha+\beta=90^\circ\).

Damit kannst du den Winkel \(\varphi\) bei M berechnen.

Damit ist Antwort ... richtig.

:-)

Answer 3

A falsch

B falsch

C richtig

D falsch

a + b = 90 → b = 90 - a

∠AMB = 180 - a/2 - b/2 = 180 - a/2 - (90 - a)/2 = 180 - a/2 - (45 - a/2) = 180 - a/2 - 45 + a/2 = 180 - 45 = 135

Comments

Wie führe ich den formalen Beweis dazu?

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Wie führe ich den formalen Beweis dazu?

folge dem Link - oben hinter "Frage existiert bereits"

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Wie führe ich den formalen Beweis dazu?

Nicht schön notiert aber

a + b = 90 → b = 90 - a

∠AMB = 180 - a/2 - b/2 = 180 - a/2 - (90 - a)/2 = 180 - a/2 - (45 - a/2) = 180 - a/2 - 45 + a/2 = 180 - 45 = 135