Von Aussageformen zu Aussagen

Question

ich hänge hier bei einer Aufgabe fest:

Ich soll mit Hilfe von Variablen für natürliche Zahlen (x und y) sowie den Operatoren für Addition (+) und Subtraktion (-), desweiteren noch dem Zeichen für Gleichheit (=) eine Aussageform H(x,y) bilden, sodass folgende Aussagen gelten.

a) Für alle x,y gilt H(x,y)

b) Nicht (für alle x,y gilt H(x,y)) und (für alle x gibt es ein y, sodass H(x,y) wahr ist).

c) Es gibt genau ein x und genau ein y, sodass H(x,y) wahr ist.

d) Die Aussagen: "Für alle x gibt es ein y, sodass H(x,y)" ist wahr und "Es gibt ein y für alle x, sodass H(x,y)" ist falsch.

Leider stehe ich hier gerade ziemlich auf dem Schlauch, aber vielleicht könnt ihr mir helfen.

Comments

x + y - x = y

wäre ein Beispiel zum Herumbasteln.

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a) und b) widersprechen sich.

Bist du sicher, dass du eine Aussageform bilden sollst? Oder sollst du für jede Teilaufgabe eine eigene Aussageform bilden?

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Für jede Teilaussage natürlich eine Aussageform, da sonst wie du gesagt hattest, sich a und b widersprechen. ;)

Answer 1

c) Es gibt genau ein x und genau ein y, sodass H(x,y) wahr ist.

Ich gehe davon aus, dass 0 eine natürliche Zahl ist. Dann erfüllt

$$ H(x,y): \quad x+y = 0 $$die in c) genannten Bedingungen. Da die Zahl \(0\) aber nicht zum erlaubten Zeichenvorrat von H gehört und die vorstehende Aussageform daher nicht zulässig ist, addieren wir beispielsweise noch ein \(x\) und erhalten

$$ H(x,y): \quad x+y+x = x $$als zulässige Aussageform für Teilaufgabe c).

Für b) und d) gibt es vielleicht ähnliche Ansätze.

Comments

Soweit verstehe ich das.

Für b) überlege ich jetzt:
Für alle x,y gilt H(x,y): das ist ja x+y = y+x -> aber wir brauchen die Negation davon.
Also x-y da nicht y-x. 
Aufgrund der Konjunktion muss jetzt noch "für alle x gibt es ein y, sodass H(x,y) wahr ist" wahr werden lassen. 
Ist das nicht der Fall wenn x=y oder stehe ich gerade auf dem Schlauch?

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Hm, ich korrigiere meine Überlegung nochmal.

Wenn:
H(x,y)= x-y = x dann müsste diese Aussage doch wahr sein, oder? Es gibt ja für jedes x nur ein y (nämlich 0) welches diese Aussage erfüllt?

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Ja, das wäre eine denkbare Möglichkeit für b).

Läuft bei Dir! :-)

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Jetzt fehlt nur noch die d. aber vielleicht finde ich ja im Laufe des Tages noch was.

Vielen Dank ;)

Answer 2

a) Für alle x,y gilt H(x,y)         Beispiel   H(x,y) :=  x+y = y+x

b) Nicht (für alle x,y gilt H(x,y)) und (für alle x gibt es ein y, sodass H(x,y) wahr ist).

  Beispiel   H(x,y) :=  x-y = 0

c) Es gibt genau ein x und genau ein y, sodass H(x,y) wahr ist.

Beispiel   H(x,y) :=         x+y = 0

d) Die Aussagen: "Für alle x gibt es ein y, sodass H(x,y)" ist wahr und "Es gibt ein y für alle x, sodass H(x,y)" ist falsch.

Beispiel   H(x,y) :=  x-y = 0

Comments

Wie hast du denn c) interpretiert?

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Wie es da stand:

Es gibt genau ein x und genau ein y, sodass H(x,y) wahr ist.

Und habe mal angenommen, dass 0 eine nat. Zahl ist. Das wird

ja leider nicht so ganz einheitlich gesehen.

Also gibt es für x+y=0 nur den Fall

x=0 und y=0

also gibt es genau ein x (nämlich die 0) und

genau ein y ( wieder die 0) mit x+y=0.

Wenn 1 die kleinste nat. Zahl ist, nimmt man halt

x+y=2

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Hm... ich hatte das gestern eher so verstanden, dass Zahlen in der Gleichung nicht vorkommen dürfen...

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Das mit der 0 ist insofern immer eine Diskussion in der Übung, wir gehen aber nun davon aus das sie enthalten ist. ;) Vielen Dank für deine Antwort, das hilft mir sehr.

Das mit den Zahlen, da hat der az0815 schon gut drauf hingewiesen, wurde nicht angesprochen. Wir haben dort nur ein komplizierteres Beispiel für diese Aufgaben besprochen, da wegen des Feiertags zwei Serien besprochen werden mussten. Dies wurde dann so erläutert.

$$Q[\sqrt { 2 } ]=\left\{ a+b\sqrt { 2 } |a,b\in Q \right\} $$

mit den Operatoren + und * (Multiplikation)

Das Beispiel war dann:

Für alle x,y gilt: das Produkt von x und y ist in Q[√2]

Dann wurde das ausmultipliziert:

(a+b√2)*(c+d√2) = (ac + ad√2 + bc√2 * bd2)

zusammengefasst:

(ac+bd2)+(ad+bc)*√2 

Dadurch wären: 

(ac+bd2) = x

(ad+bc) = y 

Sodass es wieder der Form: (a+b√2) entspricht. 

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c) ∃ z ∀ n (z+n = n ∧ x + y = z)

Oder sind Quantoren und Junktoren auch ausgschlossen?

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Vermutlich schon, das kam noch nicht in der Vorlesung dran. Es darf nur genutzt werden was oben angegeben ist.

"Variablen für natürliche Zahlen (x und y) sowie den Operatoren für Addition (+) und Subtraktion (-), desweiteren noch dem Zeichen für Gleichheit (=)"