Beweise die Ungleichung 3^k ≥ (k+1)^2

Question

Dies soll mit Hilfe der vollständigen Induktion geschehen.

Da k∈N ist mein Startwert, nach dem lösen der Ungleichung bei 2, denn [2,infty) wäre einer der 2 Lösungsintervalle, der andere liegt bei [-1,0] und der wird nun einmal ignoriert, hoffe dies ist auch richtig:).

(I.A.) k=2

Es gilt hier 9=9 und somit ist die Annahme bestätigt.

Die (I.V) lautet nun 3^k>=(k+1)^2

(I.S.) k -> k+1

Wenn ein beliebiges k∈N gilt, dann muss / soll auch k + 1 gelten:

3^{k+1} >= (k+2)^2

Denn: 3^{k+1} = 3^k + 3^1 = 3^k + 3 >=_(I.V) (k+1)^2 *3 = (k+1)^2 + (k+1)^2 + (k+1)^2

Die Frage wäre nun, wie es weitergehen soll, wars das schon oder kann man noch zeigen, dass k>0 mit k = 9 ist?

Comments

Alternative: Für \(k>1\) gilt
\(3\cdot(k+1)^2\ge3\cdot(k+1)^2-2\cdot(k-2)(k+1)=k^2+8k+7=(k+2)^2+(4k+3)>(k+2)^2\).

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Ok, und was genau bewirkt dies?

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Damit ist die Aussage im Induktionsschritt gezeigt.

Answer 1

zB so hier:

3^{k+1}=3*3^{k}>=3*(k+1)^2

Nun bleibt noch zu zeigen, dass

3(k+1)^2>=(k+2)^2

bzw. k^2+k-1/2>=0

bzw. (k+1/2)^2 -3/4>=0

ist. Das geht entweder mit einer weiteren Induktion oder mithilfe von Monotoniebetrachtungen.

Comments

hi

Ok, ich würde dann lieber zeigen die vollständige Induktion auf dieses hier anwenden 3(k+1)²>=(k+2)²

Wie kommst du hier drauf?

bzw. k²+k-1/2>=0

bzw. (k+1/2)² -3/4>=0

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Das sind Termumformungen.

3(k+1)²>=(k+2)^2

links und rechts aus multiplizieren.

3k^2+6k+3>=k^2+4k+4 | zusammenfassen

2k^2+2k-1>=0 | :2

k^2+k-1/2>=0

Jetzt geht noch quadratische Ergänzung und man erhält die letzte Form.

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Ok ich bekomme die zweite Induktion nicht hin, bzw. wüste beim I.S. nicht weiter.

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Zu zeigen:

3(k+1)^2>=(k+2)^2

Induktionsanfang k=2

Induktionsschritt:

3((k+1)+1)^2=

3[(k+1)^2 + 2(k+1)+1]

=3(k+1)^2+6(k+1)+1

>=(k+2)^2+6(k+1)+1

=k^2+10k+11

>=k^2+6k+9

=(k+3)^2

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Ok und nun ist man doch aber immernoch nicht weiter oder?

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Die zweite Induktion ist damit fertig.

Beachte, dass (k+3)^2=((k+1)+2)^2 ist.

Die erste Induktion ist damit auch bewiesen, das war ja das Ziel hier von.

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Achja, also ist die Aufgabe somit erfüllt:) Danke dir :)

Eine Frage noch, wie kommst du hier drauf

3((k+1)+1)²= 3[(k+1)² + 2(k+1)+1]

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Das ist die erste binomische Formel mit a=(k+1) und b=1

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Stimmt, ich sitze einfach schon viel zu lange, danke für deine Hilfe.:)

Die Zeile hier

3[(k+1)^2 + 2(k+1)+1]

=3(k+1)^2+6(k+1)+1

müsste dann doch  =3(k+1)^2+6(k+1)+3 heißen oder :)

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OK ich habe mich anscheinend doch zu früh gefreut, bist du dir sicher, dass dies so stimmt?Denn  es leuchtet mir nicht ein wie diese neue Induktion die andere beweist.

Sry, falls ich mich irgendwie doof anstelle, aber ich möchte es schon verstehen

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Um die erste Ungleichung zu zeigen hat doch noch der Beweis für

3(k+1)²>=(k+2)²

^{gefehlt. Hat man den, ist man fertig.}

^{Deshalb hat man die zweite Induktion gemacht um diese Ungleichung zu bestätigen.} 

^{Ja bei der einen Umformung muss es hinten +3 heißen ;). Das ändert aber zum Glück nix an der weiteren Rechnung, da man das danach wieder nach unten abschätzt.}

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Ja, dass habe ich verstanden, nur das Ergebnis der 2 Induktion macht für mich keinen Sinn, bzw. ich verstehe nicht in wie weit es der beweis  für 3(k+1)²>=(k+2)²  sein soll:)

Besser gesagt, wo ist der genaue Zusammenhang der beiden Lösungen?

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Also ich verstehe nur nicht warum dieses Ergebnis =(k+3)²

uns für den ersten Fall 3(k+1)²>=(k+2)² etwas bringt. 

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Das ist der Induktionsschritt der zweiten Induktion.

Die Grundaussage hieß

3(k+1)^2>=(k+2)^2

Im Induktionsschritt muss man nun zeigen, dass wenn die Aussage für k gilt, sie auch für k+1 gilt.

Daher ist es das Ziel, am Ende

3((k+1)+1)^2>=...>= ((k+1)+2)^2=(k+3)^2

dastehen zu haben.

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Achso...

Hättest du mal die Induktionsbehauptung

bei n -> n+1: 3((k+1)+1)^2>= ((k+1)+2)^2 hingeschrieben, könnte man dies auch besser nachvollziehen :)

Man versucht ja dies hier so 3((k+1)+1)^2 umzuformen , damit ((k+1)+2)^2 rauskommt, ich habe aber nicht gewusst, warum ((k+1)+2)^2 rauskommen soll, aber das ist ja nur (k+2)^2, wobei n+1 für n eingesetzt wurde. So ich habs danke.