Skalarprodukt zur Projektion, ich verstehe die Erläuterung nicht.

Question

Ich weiss ja nicht wie es rechtlich aussieht, wenn ich einen Text aus einem Buch fotograifere.
Es wird aber folgendermassen erklärt.

Ich führe wörtlich aus und zu unterst ist es auf dem Rechenweg ersichtlich. 


(1) Einführung des Sklarprodukts 
Ist für mich klar. 

(2) Anwendung in Projektion eines Vektors a auf eine Gerade
Ist für mich unklar. 

Im wesentlichen hat man ja beim Skalarprodukt eine Gleichung. 
VektorA * VekrotB = BetragVektorA * BetragVektorB * Kosinus(phi)

Um von dieser Grundlage aus zur Projektion zu gelangen, 
muss man eigentlich nur den ganzen Term durch BetragVektorB dividieren. 

Dann muss aber VektorB/BetragVektorB = Einheitsvektor b ergeben. 

Frage
Sind meine obengenannten interpretationen richtig?
Ist Vektor/BetragVektor = Einheitsvektor = 1 ?
Wenn ja, wie dividiert man einen Vektor mit Komponenten (a,b,c) durch einen Betrag?


Rechenweg

Answer 1

Du teilst einen Vektor durch seinen Betrag, indem du jede Komponente durch den Betrag teilst.

[a, b, c] / √(a^2 + b^2 + c^2)

= [a/√(a^2 + b^2 + c^2), b/√(a^2 + b^2 + c^2), c/√(a^2 + b^2 + c^2)]

Eine Projektion ist z.B. wenn ich vor einer Wand stehe und das Sonnenlicht projiziert ein Abbild von mir auf die Wand. Die Projektion ist dann mein Schatten.

Answer 2

Ist Vektor/BetragVektor = Einheitsvektor    JA!

= 1 ?   Nein !

Links steht dann aber  Vektor a * Einheitsvektor in Richtung von Vektor b

Hast du ja auch geschrieben. Und das gibt eine Zahl, nämlich die Länge der

Projektion von a auf b. Also hast du

Skalarprodukt von Vektor a und Vektor b

= Länge von a * Länge der Projektion von a auf b.

Jedenfalls wenn alles positiv ist. Ansonsten der Betrag davon.

Wenn ja, wie dividiert man einen Vektor mit Komponenten (a,b,c) durch einen Betrag?

Betrag davon ist √ (a² +b² +c² ) also  kannst du den Vektor mit

 1 / √ (a² +b² +c² ) multiplizieren.