Untersuche ob die Menge A = {x = (mn) / (m2+n2): m; n ∈ ℕ} in den reellen Zahlen nach oben oder unten beschränkt ist

Question

Untersuchen Sie, ob die Menge A = {x = (mn) / (m²+n²): m; n ∈ ℕ}

in den reellen Zahlen nach oben oder unten beschränkt ist und geben Sie, falls existent, das Supremum

und das Infimum an.

Answer 1

erinnere dich an die binomischen Formeln.

Ausgehend von (x-y)^2>=0

erhält man x^2-2xy+y^2>=0

x^2+y^2>=2xy

1>=2xy/(x^2+y^2)

1/2>=xy/(x^2+y^2)

Answer 2

Frage mal Wolframalpha, damit du weisst, ob du nach Grenzen suchen sollst oder ob du das Gegenteil zeigen sollst.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=mn+%2F+(m%5E2+%2B+n%5E2) 

Nun hat du im Link noch viel mehr Infos, von denen du sicher einen Teil berechnen und verwenden kannst.

Comments

Lu: Wie passt m,n∈ℕ und n = - m zusammen?

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Nicht wirklich. Für m,n∈ℕ (und falls N ohne 0 gemeint ist), kannst du sogar sagen, dass mn/(m^2 + n^2) nicht negativ sein kann. D.h. mn/(m^2 + n^2) ist sowieso nach unten beschränkt. 

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Man sollte die Null nicht ohne Grund aussperren! Lassen wir sie zu und feuen uns über 0 als Minimum. Danach war aber ohnehin nicht gefragt!

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m=n=0 ist eine Definitionslücke für den angegebenen Term. Ich schliesse das daher aus.

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Diesen Fall habe ich aber auch nicht erwähnt!

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Ich weiss. Roland hat zu recht gefragt, was mit  "m,n∈ℕ " eigentlich ausgeschlossen ist. Da kann man sich überlegen, ob die 0 bei denen zu N gehört oder nicht. Das muss der Fragesteller selber wissen. 

Answer 3

x=(mn)/(m²+n²) kann man umformen zu x=1/(m/n+n/m) und hier kann man m/n=y setzen und anschließend x und y vertauschen. Der Graph von y=1/(x+1/x) liegt zwischen y=-1/2 und y=+1/2.