Kurvenintegrale in Abhängigkeit von p berechnen

Question

Aufgabe:

Für \( p \in \mathbb{R} \) sei das Vektorfeld \( F_{p}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) gegeben durch

\( F_{p}(x, y, z)=(p y z+2 x, x z-2 y, x y)^{\top} \)

Gegeben seien die Kurven ϒ1, ϒ2 : [0, 1] → ℝ^3,

ϒ1(t) = (t, t, t^2 )^T, ϒ2(t) = (t, t, t)^T

Berechnen Sie die Kurvenintegrale $$\int _{ \Upsilon 1 }^{  }{ Fp\cdot d\vec { s }  } \quad und\quad \int _{ \Upsilon 2 }^{  }{ Fp\cdot d\vec { s }  } $$ in Abhänigkeit von p.

Meine Ideen:

Ist die folgende Formel richtig?

$$\begin{aligned} \int F( \gamma(t)) \gamma'(t) dt \end{aligned}$$

Wenn ja wie gehts weiter?

mfg, danke im Voraus.

Comments

muss ich einfach ϒ1 in $$ \begin{aligned} \int F( \gamma(t)) \gamma'(t) dt \end{aligned}$$ einsetzen und fertig?

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Jo die Formel stimmt soweit,  einfach mal einsetzen und losrechnen ;)

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hab ich alles richtig eingesetzt und integriert für z.B. ϒ1:

$$\int_{0}^{1}{(pt^{2}+2t,t^{3}-2t,t^{2})^{T}\cdot(\begin{matrix}1\\1\\2t\end{matrix})}dt$$

PS: wie kann die klammer oben schöner machen? :)

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so hier ist die rechnung:

Answer 1

Hallo Knightfire, in der letzten Zeile hast du dich verrechnet.  Hier meine Lösung, siehe Bild.

Comments

stimmt hab n miesen fehler drin gehabt... zu wenig konzentriert...

so hier ist meine Lösung für ϒ2, was denkst du darüber?

es gibt noch eine weitere teilaufgabe, die verstehe ich auch nicht so, also wenn meine rechnung richtig ist, könntest du dir eventuell noch das ansehen?

mfg

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Hallo Knightfire, auch bei γ₂(t) hast du dich verrechnet.  Die korrekte Rechnung ist im Bild. 

Zu deiner zweiten Frage.  Gucken wir mal in Wikipedia nach „Gradientenfeld“:

Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals: Der Wert des Kurvenintegrals entlang einer beliebigen Kurve S innerhalb des Feldes ist nur von ihrem Anfangs- und Endpunkt abhängig, nicht dagegen von ihrer Länge.

Wenn also Weg 1 = Weg 2, d. h. (p+3)/4 = (p+2)/3, dann kann es sich um ein Gradientenfeld handeln.  Die wollen aber einen Beweis.  Dazu müsste ich die ganze Aufgabe sehen.

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ok ich  verstehe... ich hab den selben fehler gemacht wie bei ϒ1...

hier ist die ganze Aufgabe:

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also ich kenn mich da nicht so gut aus aber gilt wirklich  (p+3)/4 = (p+2)/3? oder eher !=?

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Hallo Knightfire, vielen Dank für die *ganze* Aufgabe.  Wir haben zwei Wege von P1(0,0,0) nach P2(1,1,1):  gamma1 und gamma2 für t von 0 nach 1.  Wenn das Kurvenintegral von P1 zu P2 vom Weg unabhängig ist, dann *könnte* ein Gradientenfeld vorliegen.  Wenn also (p+3)/4 = (p+2)/3, nach p aufgelöst p = 1, gilt, dann *könnte* ein Gradientenfeld vorliegen.  Um zu zeigen, dass wir wirklich ein Gradientenfeld haben, müssten aber *alle* Kurvenintegrale vom Weg unabhängig sein, was in Teilaufgabe b nicht gezeigt ist.

Wenn wir die Teilaufgaben a *und* b heranziehen, ist es besser.  Wir wissen schon, dass wir für p = 1 ein Gradientenfeld haben.  Für alle anderen p haben wir definitiv keines, weil schon die Kurvenintegrale von *einem* Punktepaar ungleich sind.

Also müsste die Teilaufgabe c heißen:  Schließen Sie aus a und b, dass …  

Mit anderen Worten:

Es gilt der Satz:  Wir haben ein Gradientenfeld => Der Wert des Kurvenintegrals von P1 nach P2 hängt nicht vom Weg ab, P1 und P2 beliebig.

Daraus folgt der Satz:  Wir haben ein Punktepaar P1, P2.  Hier ist der Wert des Kurvenintegrals vom Weg abhängig.  =>  Wie haben kein Gradientenfeld.

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so:

$$(p+3)/4=(p+2)/3$$

=> p = 1

d.h. für p = 1 haben wir nen Gradientenfeld...

ok aber nun habe ich nicht verstanden, wie ich das zeigen soll:

Für alle anderen p haben wir definitiv keines, weil schon die Kurvenintegrale von *einem* Punktepaar ungleich sind. 

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also für p = 1 haben wie nen Gradientenfeld, da wir in a ja durch die Rotationsbedingung gezeigt haben, dass es sich hier tatsächlich um nen Gradientenfeld handelt... ok das ist alles klar.

und für alle anderen p ist das nicht der fall und wie zeige ich das rechnerisch?

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Hallo Knightfire, bei einem Gradientenfeld muss für jedes Punktepaar (P1, P2) gelten:  Jedes Wegintegral über jeden Weg von P1 nach P2 hat denselben Wert.  Wir haben aber gezeigt, dass für P1(0,0,0) und P2(1,1,1) gilt:  Das Wegintegral über gamma1 hat den Wert (p+3)/4, das Wegintegral über gamma2 hat den Wert (p+2)/3.  Aus (p+3)/4 ≠ (p+2)/3 folgt p ≠ 1.  Das heißt, wenn p ≠ 1, dann sind die beiden Wegintegrale ungleich.  Also ist das Feld für p ≠ 1 kein Gradientenfeld.

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ok ich verstehe...

also vielen Dank RomanGa!

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Bitte schön und jederzeit gerne wieder.