Ungleichungen, Summen- und Produktzeichen

Question

 

könnte irgendeiner mir bitte alle drei Aufgaben erklären, also wie ich dort anfangen soll.

 

Mathe-Rookie

Answer 1

Bei A erst mal ein paar testen . Dann siehst du es gilt für 0, 1, 2, (bei 3 nicht) 

aber danach scheint's immer. Also versuchst du Induktionsbeweis mit Anfang bei n=4 

Induktionsanfang:    Für n=4 ist es wahr

Sei nun n∈N mit  n≥4 und   2ⁿ ≥ n² .

==>      2ⁿ⁺¹  =  2   *   2ⁿ  ≥  2n² = n² + n² 

und wegen   n≥4  gilt n² ≥ 2n+1   (#)  

also  n² + n² ≥  n² + 2n+1  = (n+1)²  .

Falls man für # noch einen Nachweis braucht :

 n² ≥ 2n+1

 <=>  n² -2n-1 ≥ 0 

<=>  n² -2n + 1  ≥  2

<=>  (n-1)²  ≥  2

und das ist für n≥4 gewiss erfüllt.