> Bei f(x)= x4 - 16 war ein solches x0 aber nicht gegeben
Dann erfindet man eines. Ich nenne es mal x0.
Differenzenquotient ist \(\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\)
Einsetzen in die Funktionsgleichung liefert den Differenzenquotienten \(\frac{((x_0+h)^4+16) - (x_0^4+16)}{h}\).
Jetzt ausmultiplizien: \(\frac{x_0^4 + 4x_0^3h + 6x_0^2h^2 + 4x_0h^3 + h^4+16 - x_0^4-16}{h}\)
Zusammenfassen: \(\frac{4x_0^3h + 6x_0^2h^2 + 4x_0h^3 + h^4}{h}\)
h ausklammern: \(\frac{h\cdot(4x_0^3 + 6x_0^2h + 4x_0h^2 + h^3)}{h}\)
Kürzen: \(4x_0^3 + 6x_0^2h + 4x_0h^2 + h^3\)
Grenzwert berechnen: \(\lim_{h\to 0}4x_0^3 + 6x_0^2h + 4x_0h^2 + h^3 = 4x_0^3 + 6x_0^2\cdot 0 + 4x_0\cdot 0^2 + 0^3 = 4x_0^3\).
Fazit: Die Funktion f(x) = x4 + 16 hat an der Stelle x0 die Ableitung 4x03.
Jetzt kann man das x0 wieder durch das ursprüngliche x ersetzen: Die Funktion f(x) = x4 + 16 hat die Ableitung f'(x) = 4x3.
Vorteil ist, dass man jetzt eine Regel hat, mit der man die Ableitung an jeder Stelle der Funktion berechnen kann. Man hat also eine Ableitungsfunktion in die man nur noch die gewünschte Stelle einsetzen muss, um die Ableitung an dieser Stelle zu berechnen.
Wenn man den binomischen Lehrsatz kennt (nicht zu verwecheln mit einem seiner Speziallfälle, den binomischen Formeln), dann kann man diese Regel sogar noch verallgemeinern:
Ableitungsfunktion der Funktion f(x) = xn ist f'(x) = nxn-1.
