zur basis e umschreiben grenzwert

Question

$$ \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n+4})^{2n+3}$$

diese (2n+3) ist hoch

Ich wollte das als erstes zur Basis e umschreiben, aber weiss nicht genau wie?

a^x=e^{ln(a)*x}?

Answer 1

Bekannt sein sollte lim_n→∞(1 + 1/n)ⁿ = e.

Wenn n→∞ geht, dann geht auch n-4 → ∞. Du darfst also in dem Term das n durch n-4 ersetzen. Dann noch Potenzgesetze anwenden und du findest den Grenzwert e².

Answer 2

$$ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n+4}\right)^{2 n+3} $$

$$ =\lim _{x \rightarrow \infty} e^{\ln \left[\left(1+\frac{1}{n+4}\right)^{2 n+3}\right]} $$

$$=\lim _{x \rightarrow \infty} e^{(2 n+3) \ln \left(1+\frac{1}{n+4}\right)}\\ =e^{\lim _{n \rightarrow \infty}\left[(2 n+3) \cdot \ln \left(1+\frac{1}{n+4}\right)\right]}\\ \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\ln \left(1+\frac{1}{n+4}\right)}{\frac{1}{2 n+3}}\right] \Rightarrow \frac{0}{0}\\ \begin{array}{l}{\Rightarrow L^{\prime} \text { Hospital }} \\ {=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{-\frac{1}{n^{2}+9 n+120}}{-\frac{2}{(2 n+3)^{2}}}\right.})\end{array}\\ =\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{(n+5)(n+4)} \cdot \frac{(2 n+3)^{2}}{2}\right)=\frac{4}{2}=2\\ ⇒e^2$$