Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung 4z^3 = z^{konjugiert}

Question

Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung 4z^3 = z¯ (z mit Stich)  in kartesischen Koordinaten.

 Danke

Answer 1

$$4z^3=\overline{z}\\ [z=a+ib]\\ 4(a+ib)^3=a-ib\\ 4(a^3+i3a^2b-3ab^2-ib^3)=a-ib\\ 4a^3+i12a^2b-12ab^2-4ib^2=a-ib\\ \text{Realteil:}\\ \begin{aligned}&4a^3-12ab^2&=a\\ &4a^3-12ab^2-a&=0\\ &a(4a^2-12b^2-1)&=0\end{aligned}\\ ⇒d_1=0\\ \text{Imaginärteil:}\\ 12a^2b-4b^3=-b\\ 12a^2b-4b^3+b =0\\ b(12a^2-4b^2+1) =0\\ h_1=0\\ 12a^2-4b^2+1=0\\ a_1=0⇒ 12a^2-4b^2+1=0\\ -4b^2+1=0\\ -4b^2=-1\\ b^2=\frac{1}{4}⇒b_{1/2}=\pm \frac{1}{2}\\ b_1=0⇒\\ 4a^2-12b^2-1=0\\ 4a^2-1=0\\ ⇒a_{1/2}=\pm\frac{1}{2}$$                     

Comments

Lösungen sind also;

z_1.2= ± i /2

z_3.4= ± 1/2

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danke, aber warum ist z_1,2  ± i/2 und z_3,4 nur ± 1/2 ?

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setze die Werte von a und b hier ein: z=a+ib

also.

a₁=0 und b_1,2= ± 1/2

analog b₁=0 und a_1.2= ±1/2