Ein Beweis über modulare Arithmetik und Teiler

Question

Sei n∈ℕ und p∈ℕ ein Teiler von n. Ich muss nun beweisen, dass a≡b mod n ⇒ a≡b mod p, für alle a, b ∈ ℤ.

Wie beweise ich den sowas?

Answer 1

a≡b mod n

==>  Es gibt ein k∈ℤ mit  a-b = k*n

p|n ==>  Es gibt ein h∈ℤ mit h*p= n

also   a-b = k*n   ==>     a-b = k*h*p      #

Da k∈ℤ  und h∈ℤ   ist auch k*h ∈ℤ

also zeigt #       a≡b mod p     q.e.d.

Answer 2

Hallo rorp,

per Definition sind a und b kongruent modulo n, wenn n ein Teiler von a-b ist.

Es gilt also n | (a-b).
Nach Voraussetzung gilt p | n.
Aus p | n und n | (a-b) folgt p | (a-b), also gilt a≡b  mod p

Beste Grüße