Komplexe Zahlen. Gleichung mit Koeffizientenvergleich lösen: (a + bi)^2 = 2i

Question

Aufgabe:

Komplexe Zahlen. Gleichung mit Koeffizientenvergleich lösen: \( (a+b i)^{2}=2 i \)

Ansatz:

Ich versuche diese Gleichung mit dem koeffizientenvergleich zu lösen, komme aber nicht weiter. Wie kriege ich b raus? Und ist mein Ansatz richtig?

\( (a+b i)^{2}=2 i \)
\( a^{2}+a b i+a b i+b^{2} i^{2}=2 i \)
\( 2 a b i+b^{2} i^{2}-2 i+a^{2}=0 \)
\( 2 a b+\left(-b^{2}\right)-2 i+a^{2}=0 \)
\( 2 a b-2=0 \) → \( a = \frac{1}{b} \)
\( -b^{2}+a^{2}=0 \)

Answer 1

Hallo Sweeti,

Dein Ansatz ist völlig in Ordnung. Einfach den Term für \(a\) also \(a=1/b\) in die zweite Gleichung einsetzen - macht

$$-b^2 + \frac{1}{b^2} = 0$$

Mit \(b^2\) mal nehmen und das \(b^4\) auf die andere Seite bringen:

$$ \Rightarrow \space b^4=1 \quad \Rightarrow b_{1,2}=\pm1$$

Dann in die Gleichung für \(a\) einsetzen und Du erhältst die beiden Lösungen

$$z_1= 1+ i \quad z_2=-1-i$$

Gruß Werner