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Kann mir bei dieser Aufgabe jemand weiterhelfen?

Liebe Grüße

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Geometrische Reihe
Folgeglieder durch Muliplikation mit einem
konstanten Faktor
((( a * 1.05 ) * 1.05 ) * 1.05 usw
a * faktor ^x
Und ist damit eine Exponentialfunktion
d ( x ) = d0 * f ^x
d ( 1 ) = d0 * f ^1 = 48000
d ( 2 ) = d0 * f ^2 = 51360

Berechnet ergibt sich
d ( x ) = 44859.81 * 1.07 ^x

Stammfunktion
und dann Integralfunktion bilden

I ( x ) = 2500000
x = 23.09 Jahre

Avatar von 123 k 🚀

Vielen Dank für deine Mühe, das Ergebnis stimmt leider nicht..

Vielleicht sagt du einmal das dir
vorliegende Ergbnis.

Hallo Georg,

Der Fehler ist wohl, dass du von einem kontinuielichen Wachstum ausgehst. Das ist aber nicht der Fall. Es geht um absolute Beträge pro Jahr (wachsende geometrische Reihe)

Formel:

2 500 000 = 48000*(1,07^n-1)/0,07

n= 22,70 Jahre

Hallo Andreas,
so rein von der Sache her erfolgt das Wachstum
doch kontinuierlich. Oder wird an einem
bestimmtem Tag im Jahr der Müll auf einmal
eingekippt ?

Das ist aber nicht der Fall.

Ja selbstverständlich ist das der Fall, wie könnte sonst ein nicht-ganzzahliger Wert für n sinnvoll sein?

Bei kontinuierlichem Wachstum von 7% hätten wir nach 1 Jahr schon 48000*e^0.07 =

51480,39 m^3.

Sachlich hast du Recht, aber die Aufgabe gibt das m.E. nicht her.

Zunächst :
da ich heute großzügig bin : über eine
geometrische Reihe zu rechnen ist sicherlich
auch nicht so verkehrt.  Grins.

Meine Formel
d ( x ) = 44859.81 * 1.07 x
d ( 1 ) = 48000
d ( 2 ) = 51360
und  stimmt damit mit den Angaben
in der Aufgabenstellung überein.

Ich rechne  zunächst immer mit einer
Exponentialfunktion wie bei " Medikamenten-
abbau im Blut " oder " Radioaktiver Zerfall "
und integriere dann.

Du hast eine Formel entsprechend der
" stetigen Verzinsung "
http://www.math-kit.de/2003/content/FO-PB-XML-cob/folgen//Manifest26/verzinsung.html
gewählt.

Ich muß die ganze Sache noch überdenken.

In der Realität werden mMn immer absolute Jahreswerte genannt.

"Wir haben im Schnitt 7% Müll mehr pro Jahr". (Am Jahresende waren es7% mehr als im letzten Jahr.)

Die Inflationsrate der letzten Jahre betrug im Schnitt bei 2% etc.

Ich denke, dass das auch hier gemeint ist. Es geht um Statistik in absoluten Zahlen.

@Andreas
Bei kontinuierlichem Wachstum von 7% hätten
wir nach 1 Jahr schon 48000*e0.07 =
51480,39 m3.
Wenn die Formel die Frageangaben schon
nicht trifft weshalb sollte sie dann angewendet
werden ?

@firegun
Vielen Dank für deine Mühe, das Ergebnis stimmt
leider nicht..
Vielleicht sagt du einmal das dir vorliegende Ergbnis.

Sind mittlerweile alle Klarheiten beseitigt ?
Bei Bedarf weiterfragen.

Meinerseits sind alle Klarheiten geklärt. Wenn man theoretisch denkt, dann wäre deine Antwort korrekt, doch in diesem Fall stimmt das Ergebnis von Gast2016..

Georgs Methode ist aber korrekt, er hat nur leider einen Rechenfehler drin, wohingegen G2016 eine falsche Methode angewandt hat, die nur zufällig bei diesem Funktionstyp ein richtiges Ergebnis liefert.

Korrekt ist Folgendes :

Bezeichnen wir mit m(t) die zum Zeitpunkt t produzierte Müllmenge (in "m^3 pro Zeiteinheit"), so ist  ab m(t) dt  die im Zeitintervall (a,b) anfallende Müllmenge (in m^3).  Die innerhalb eines festen Zeitraums Δt  erzeugte Müllmenge ist dann M(a) = aa+Δt m(t) dt. Laut Aufgabenstellung sind sowohl m als auch M Exponentialfunktionen (das eine bedingt das andere).

Mit dem Ansatz  m(t) = m0·eλ·t  ergibt sich
M(a) = aa+Δt m(t) dt  =  [m0/λ · eλ·t ] (von a bis a+Δt)
        =  m0/λ · (eλ·(a+Δt) - eλ·a) = m0/λ · eλ·a ·(eλ·Δt -1) 

Zur Bestimmung der Konstanten m0 und λ benutzt man die in der Aufgabe enthaltenen Angaben : 
Für Δt = 1 ist  M(0) = m0/λ · 1 ·(eλ -1) = 48000
               und M(1) = m0/λ · eλ ·(eλ -1) = 51360
Division ergibt eλ = 51360/48000 = 1,07 und somit weiter
m0/λ = 48000/(1,07-1) = 4,8Mio / 7

Gesucht ist jetzt Δt so, dass für dieses Δt dann M(0) = 2,5 Mio wird :
M(0) = m0/λ · eλ·0 ·(eλ·Δt -1) = 4,8Mio / 7 ·1 ·(1,07Δt -1) = 2,5 Mio
ergibt  1,07Δt = 2,5·7/4,8 + 1 und daraus  Δt = 22,7

@firegun
Grafik 1 zeigt dir ein Balkendiagramm
einer geometrischen Reihe.
Der Flächeninhalt wird mit einer geometrischen
Reihe berechnet

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Grafik 2
Die Stützpunkte wurden in eine Exponential-
gleichung umgerechnet und dann der Flächeninhalt
über die Integralrechnung berechnet.

Die 2.Berechnungsart trifft den Sachverhalt etwas
besser und das Ergebnis ist etwas genauer.

Hugh, ich habe gesprochen.

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