Messbarkeit von Abbildungen. f: R -> R^2; x --> (x,0)

Question

Wie lassen sich diese beiden Teilaufgaben zeigen?

Answer 1

Hallo,

zu b): Betrachte \( V \subset [0,1] \subset \mathbb{R} \) die Vitali-Menge. Dann ist  \( V\times\lbrace{0\rbrace} \in \mathcal{L}^2\), da \( V\times\lbrace{0\rbrace} = f(V) \subset\text{Bild}(f)\in\mathcal{L}^2\) und \((\mathbb{R}^2, \mathcal{L}^2,\lambda_2)\) ein vollständiger Maßraum ist. Beachte, dass \( \lambda_2(\text{Bild}(f)) = 0\).

Nun gilt aber \( f^{-1}(V \times\lbrace{0\rbrace}) = V \notin \mathcal{L}^1\), d.h. \(f\) ist nicht \((\mathcal{L}^1,\mathcal{L}^2)\)-messbar.