Konvergente Folgen untersuchen.

Question

Für p ∈ ℝ bezeichne c_p die Menge aller konvergenten Folgen (x_j)_j=1 aus mit limes j gegen unendlich für x_j = p.

Wie kann ich untersuchen für welche p∈ℝ die Menge c_p ein Unterraum von c ist. 

Comments

Muss so ein Unterraum eigentlich die Nullfolge enthalten? 

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Kann ja. Aber wie untersucht man das. Es kann ja auch mehr geben 

Answer 1

Wenn du zwei Folgen hast mit Grenzwert p, dann hat wegen der Grenzwertsätze die

Summe der Folgen den Grenzwert 2p.

Da die Summe zweier Elemente eines Unterraumes aber wieder im Unterraum sein

muss, muss auch die Summe aus c_p sein.  Also muss gelten 2p=p 

und das gilt in ℝ nur für p=0.

Das ist also der einzige Fall, bei dem  c_p ein Unterraum sein kann.

In der Tat enthält er den Nullvektor ( Die Folge aus lauter 0en) und 

mit jeder Folge  (x_j)_j∈ℕ auch deren  Negativ  (-x_j)_j∈ℕ  ; denn wenn die

erste eine Nullfolge ist, ist es die zweite auch. Außerdem ist jedes 

Vielfache einer Folge aus   c_p  wieder in   c_p . Also ist es ein

Unterraum.