Ganzrationale Funktion bestimmen

Question

ich habe eine Aufgabe hier weiß aber nicht genau wie ich sie angehen soll.

Bestimmung der ganz rationalen funktion.

Der Graph ist zur y Achse symmetrisch

a) der Graph geht durch O(0/0) und hat bei x0= 3 eine Nullstelle. Die Steigung dieser Nullstelle beträgt -48 [2;0]

b) W (1/3) ist ein Wendepunkt des Graphens, die zugehörige Wendetangente hat die Steigung -2

Answer 1

Hallo B.k

du hast für die gesuchte Funktion f folgende Bedingungen:

Der Graph ist zur y Achse symmetrisch 

         →  im Funktionsterm dürfen bei x nur gerade Exponenten vorkommen

Zusätzlich

bei a):   f(0) = 0  ;   f(3) = 0  ;  f '(3) = -48      (die Klammeraufgaben lasse ich weg) 

bei b):   f(1) = 3  ;   f "(1) = 0 ;  f '(1) = -2

Mit diesen jeweils 3 Bedingungen kannst du jeweils 3 Unbekannte bestimmen.

Der einfachste Ansatz für die Funktionsgleichung ist daher  f(x) = ax⁴ + bx² + c

 Ableitungen: f '(x) = 4ax³ + 2bx   ;   f "(x) = 12ax² + 2b

Bei a) ergibt sich:

f(0) =  a·0⁴ + b·0² + c = 0    →  c = 0

f(3) = 81a + 9b = 0   →  b = - 9a

f '(3) = 108a + 6b = - 48 →  108a - 54a = - 48  →  54a  = -48  →  a = - 8/9

                                              →  b = 8

f(x) = - 8/9 · x⁴ + 8 · x² 

Bei b) ergibt sich:

f(1)  =  a + b + c = 3

f "(1)  =  12a + 2b = 0 

f '(1)  =  4a + 2b = - 2

G2 - G3   →  8a = 2  →  a = 1/4 

a in G3    →   b = -3/2   ;    a,b in G1  →  c = 17/4

f(x) = 1/4 · x⁴ - 3/2 · x + 17/4

Wolfgang

Comments

Dankesehr für die ausführliche Antwort.