Rechnerisch zeigen, ob das Viereck ein Parallelogramm ist

Question

Punkte: A(2|1), B(8|4), C(5|4), D(-1|1)

a) Zeige rechnerisch, ob dass Viereck ABCD ein Parallelogramm ist

b) Überprüfe, ob die Punkte auch ein Rechteck bilden.

Wie kann ich es rechnerisch zeigen(Aufgabe a) und wie geht die Aufgabe b)?

Niveau: 11. Klasse

Answer 1

Ich gehe mal davon aus, dass dem so ist.

Ein Parallelogramm zeichnet sich dadurch aus, dass die beiden jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind.

Hier gilt für die Seitenlängen:

\( |\overrightarrow{C B}|=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0\end{array}\right)=\sqrt{3^{2}-0^{2}}=3 \)

\( |\overrightarrow{D A}|=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0\end{array}\right)=\sqrt{3^{2}-0^{2}}=3 \)

\( |\overrightarrow{D C}|=\left(\begin{array}{l}6 \\ 3\end{array}\right)=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=6,71 \)

\( |\overrightarrow{A B}|=\left(\begin{array}{l}6 \\ 3\end{array}\right)=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=6,71 \)

Die gegenüberliegenden Seiten sind also gleich lang.

Die Seiten sind parallel, wenn die Richtungsvektoren der Geraden ein Vielfaches voneinander sind. Das ist hier der Fall.

Comments

Handelt es sich um ein Rechteck?

In einem Rechteck haben alle Winkel die Größe \( 90^{\circ} \)

Ich habe den Winkel \( \alpha \) (DAB) berechnet:

\( \cos (\alpha)=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|} \)

\( =\frac{\left(\begin{array}{c}-3 \\ 0\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}6 \\ 3\end{array}\right)}{3 \cdot 6,71}=-0,8944 \)

\( \Rightarrow \alpha=153,43^{\circ} \)

Also handelt es sich nicht um ein Rechteck.

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Jetzt noch eine Skizze:

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Wie setze ich die Punkte ein also wie beim Beispiel.

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Welche Stelle meinst du genau?

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Aufgabe a wie wir es berechnet? Ich verstehe das mit dem Foto-Beispiel nicht.

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Ist das soweit klar?

\( C\left(\begin{array}{l}5 \\ 4\end{array}\right), B\left(\begin{array}{l}8 \\ 4\end{array}\right) \)

\( \overrightarrow{C B}=\left(\begin{array}{l}8-5 \\ 4-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0\end{array}\right) \)

Länge dieses Vektors:

\( |\overrightarrow{C B}|=\sqrt{3^{2}+0^{2}}=3 \)

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Hallo Silvia,

in deiner Antwort könnte der Eindruck entstehen, dass man für den Nachweis (PG) die Beträge ausrechnen muss. Es reicht natürlich vollkommen aus, wenn die gegenüberliegenden Verbindungsvektoren der Eckpunkte gleich sind.

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Das hatte ich versucht, aber leider erfolglos. Die Vektoren wurden nicht richtig angezeigt. Da ich mit dem Formeleditor auf der Matheretter-Seite (noch) nicht klar komme, hatte ich die Formeln mit Latex (zahlen-kern) erstellt. Aber ich werde daran arbeiten...

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Hier mal für die erste Zeile von oben:

$$ |\vec{CB}| = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \sqrt{3^2 - 0^2} = 3 $$

Die direkte Eingabe von LaTeX hier ist definitiv besser als Bilder, insbesondere im Bezug auf Speicher, Suchen/Finden und Weiterverarbeitung.

Answer 2

wie lautet die Lösung jetzt, kann jemand mir bei dieser Aufgabe helfen? 

Falls du Vektorrechnung benutzen darfst: 

A(2/1) , B(8/4), C(5/4), D(-1/1)

Ich schreibe Vektoren fett. Ergänze Pfeile selber und schreibe die Komponenten der Vektoren untereinander. 

AB = OB - OA = (8-2 | 4-1 ) = (6|3) 

DC = OC - OD = (5 - (-1) | 4 -1) = (6|3) 

Das genügt eigentlich als Beweis. Gegenüberliegende Seiten sind gleiche Vektoren (heisst automatisch: Gleiche Richtung und gleiche Länge) 

Comments

ist das aufgabe a oder b

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Das gilt für beliebige Parallelogramme.

Ein Rechteck ist übrigens auch ein Parallelogramm. Zeichne das Viereck nun.