Hi,
ich denke man sollte das mit Induktion machen und beweisen, dass die Folge monoton wachsend und beschränkt ist.
Induktionsanfang
Monotonie
x1=x0+inf(1,194x02z−x03)=2+inf(1,19z−8)≥2=x0 wegen z≥8
Beschra¨nktheit
x1=2+inf(1,19z−8)
(a)z≥27⇒19z−8>1 also x1=3 und x13=27≤z
(b)z<27⇒19z−8<1 also x1=2+19z−8⇒x13−z=(2+19z−8)3−z=193(z−8)(z−27)(z+125) Also x13−z≤0 fu¨r 8≤z≤27
Induktionsschluss
IV : xk3≤z
xk+1=xk+inf(1,194xk2z−xk3)≥xk wegen der IV, also gilt auch xk≥x0=2
(a)194xk2z−xk3<1⇒z<419xk2+xk3 und xk+13−z=193⋅xk6(8z−27xk3)(125xk3+8z)(z−xk3)≤0 fu¨r xk3≤z≤(23xk)3
Wegen der IV gilt xk3≤z und wegen xk≥2 folgt
819xk≥419⇒xk3+419xk2≤(23xk)3
Grenzwert
Dann muss gelten
x=x+inf(1,194x2z−x3) also x=3z