Hi,
ich denke man sollte das mit Induktion machen und beweisen, dass die Folge monoton wachsend und beschränkt ist.
$$ \mathbf{Induktionsanfang} $$
$$ \mathbf{Monotonie} $$
$$ x_1= x_0 + \inf \left(1, \frac{4}{19} \frac{z-x_0^3}{x_0^2} \right) = 2 + \inf \left( 1, \frac{z-8}{19} \right) \ge 2 = x_0 $$ wegen \( z \ge 8 \)
$$ \mathbf{Beschränktheit} $$
$$ x_1 = 2 + \inf \left( 1, \frac{z-8}{19} \right) $$
$$ (a) \quad z \ge 27 \Rightarrow \frac{z-8}{19} > 1 \text{ also } x_1 = 3 \text{ und } x_1^3 = 27 \le z $$
$$ (b) \quad z < 27 \Rightarrow \frac{z-8}{19} < 1 \text{ also } x_1 = 2 + \frac{z-8}{19} \Rightarrow x_1^3-z = \left( 2 + \frac{z-8}{19} \right)^3 - z = \frac{ (z-8)(z-27)(z+125) }{19^3} \\ \quad \text{ Also } x_1^3 - z \le 0 \text{ für } 8 \le z \le 27 $$
$$ \mathbf{Induktionsschluss} $$
\( \mathbf{IV:} \quad x_k^3 \le z \)
$$ x_{k+1} = x_k + \inf\left( 1 , \frac{4}{19} \frac{z-x_k^3}{x_k^2} \right) \ge x_k \text{ wegen der IV, also gilt auch } x_k \ge x_0 = 2 $$
$$ (a) \quad \frac{4}{19} \frac{z-x_k^3}{x_k^2} < 1 \Rightarrow z < \frac{19}{4} x_k^2 + x_k^3 \\\text{ und } x_{k+1}^3-z = \frac{ (8z-27 x_k^3) ( 125 x_k^3 + 8 z) ( z-x_k^3) }{19^3 \cdot x_k^6} \le 0 \text{ für } x_k^3 \le z \le \left( \frac{3}{2} x_k \right)^3 $$
Wegen der IV gilt \( x_k^3 \le z \) und wegen \( x_k \ge 2 \) folgt
$$ \frac{19}{8} x_k \ge \frac{19}{4} \Rightarrow x_k^3 + \frac{19}{4} x_k^2 \le \left( \frac{3}{2} x_k \right)^3 $$
$$ \mathbf{Grenzwert} $$
Dann muss gelten
$$ x = x + \inf\left( 1 , \frac{4}{19} \frac{z-x^3}{x^2} \right) \text{ also } x = \sqrt[3]{z} $$
