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Kann mir da bitte jemand helfen? hab leider kein Plan...

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Hallo Hannah, wenn etwas zu kompliziert ist, setzt man erst mal konkrete Zahlen ein.  Also:
Beweise die Ungleichung für z = 8.
Setze z = 9 (als Beispiel).
Zeige:  xk3 -> 9 für k -> ∞, indem du xk+1 = xk = x setzt und nach x auflöst.
Löse inf auf, indem du entscheidest, welches der beiden Argumente kleiner ist.

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Hi,
ich denke man sollte das mit Induktion machen und beweisen, dass die Folge monoton wachsend und beschränkt ist.

Induktionsanfang \mathbf{Induktionsanfang}
Monotonie \mathbf{Monotonie}
x1=x0+inf(1,419zx03x02)=2+inf(1,z819)2=x0 x_1= x_0 + \inf \left(1, \frac{4}{19} \frac{z-x_0^3}{x_0^2} \right) = 2 + \inf \left( 1, \frac{z-8}{19} \right) \ge 2 = x_0 wegen z8 z \ge 8

Beschra¨nktheit \mathbf{Beschränktheit}
x1=2+inf(1,z819) x_1 = 2 + \inf \left( 1, \frac{z-8}{19} \right)
(a)z27z819>1 also x1=3 und x13=27z (a) \quad z \ge 27 \Rightarrow \frac{z-8}{19} > 1 \text{ also } x_1 = 3 \text{ und } x_1^3 = 27 \le z
(b)z<27z819<1 also x1=2+z819x13z=(2+z819)3z=(z8)(z27)(z+125)193 Also x13z0 fu¨8z27 (b) \quad z < 27 \Rightarrow \frac{z-8}{19} < 1 \text{ also } x_1 = 2 + \frac{z-8}{19} \Rightarrow x_1^3-z = \left( 2 + \frac{z-8}{19} \right)^3 - z = \frac{ (z-8)(z-27)(z+125) }{19^3} \\ \quad \text{ Also } x_1^3 - z \le 0 \text{ für } 8 \le z \le 27

Induktionsschluss \mathbf{Induktionsschluss}
IV : xk3z \mathbf{IV:} \quad x_k^3 \le z

xk+1=xk+inf(1,419zxk3xk2)xk wegen der IV, also gilt auch xkx0=2 x_{k+1} = x_k + \inf\left( 1 , \frac{4}{19} \frac{z-x_k^3}{x_k^2} \right) \ge x_k \text{ wegen der IV, also gilt auch } x_k \ge x_0 = 2
(a)419zxk3xk2<1z<194xk2+xk3 und xk+13z=(8z27xk3)(125xk3+8z)(zxk3)193xk60 fu¨xk3z(32xk)3 (a) \quad \frac{4}{19} \frac{z-x_k^3}{x_k^2} < 1 \Rightarrow z < \frac{19}{4} x_k^2 + x_k^3 \\\text{ und } x_{k+1}^3-z = \frac{ (8z-27 x_k^3) ( 125 x_k^3 + 8 z) ( z-x_k^3) }{19^3 \cdot x_k^6} \le 0 \text{ für } x_k^3 \le z \le \left( \frac{3}{2} x_k \right)^3
Wegen der IV gilt xk3z x_k^3 \le z und wegen xk2 x_k \ge 2 folgt
198xk194xk3+194xk2(32xk)3 \frac{19}{8} x_k \ge \frac{19}{4} \Rightarrow x_k^3 + \frac{19}{4} x_k^2 \le \left( \frac{3}{2} x_k \right)^3
Grenzwert \mathbf{Grenzwert}
Dann muss gelten
x=x+inf(1,419zx3x2) also x=z3 x = x + \inf\left( 1 , \frac{4}{19} \frac{z-x^3}{x^2} \right) \text{ also } x = \sqrt[3]{z}

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