4.) ((Ac ∪ B) ∩ (A ∩ Bc))
Bei 1.) weiß ich gar nicht so richtig, wie ich anfangen soll. Außer eventuell Formeln umstellen...
Mengengleichheit X=Y beweist man meistens so:
Sei x∈X ==> ... ==> ... ==> x∈ Y
und dann umgekehrt
Sei x∈y ==> ... ==> ... ==> x∈ X
Hier wäre das also so:
Sei x ∈ (Ac)c ==> (nach Def. ) x ∈ X \ (Ac)
==> ( Def. von \ ) x ∈ X ∧ x∉ (Ac)
==> ( Def. von c ) x ∈ X ∧ x∉ X\A
==> ( Def. von \ ) x ∈ X ∧ nicht ( x ∈ X ∧ x∉ A )
==> ( De Morgan ) x ∈ X ∧ ( x ∉ X ∨ x∈ A )
Da nun sowohl x ∈ X als auch x ∉ X ∨ x∈ A
wahr sind, folgt x∈ A ; denn der andere Teil der Oder-Aussage ist ja falsch.
Versuche ähnlich: x∈ A ==> (Ac)c. zu zeigen, dann hast du die Gleichheit.
Bei 2.) habe ich schon raus, dass eine leere Menge rauskommen müsste (ich hoffe das stimmt auch). Ich weiß bloß nicht, wie ich es mathematisch korrekt aufschreiben kann..
Nimm an es gibt x∈ A und x∈ Ac und führe dies zu einem Widerspruch,
dann gibt es kein gemeinsames Element von den beiden, also ist die Schnittmenge leer.
Bei 3.) habe ich schon mal (r ∈ A) ∧ ¬(r ∈ X) ∨ (r ∈ A)
Genauer wohl so : Das Ergebnis ist A ∪ Ac = X .
Beweis mit deinem (korrigierten [Vereinigungsmenge ergibt "oder"
und mit der Negation ist was faul ]]
Ansatz: Sei r ∈ A ∪ Ac
==> (r ∈ A) ∨ (r ∈ Ac )
==> (r ∈ A) ∨ (r ∈ X\A)
==> (r ∈ A) ∨ ((r ∈ X) ∧ (r ∉ A))
==> ((r ∈ A) ∨ (r ∈ X)) ∧ ( ( r ∈ A) ∨ (r ∉ A))
Der zweite Teil ist immer wahr und weil A Teilmenge von X ist
besagt der erste Teil nur r ∈ X.
Dann noch die andere Richtung zeigen
r ∈ X. ==> r ∈ A ∪ Ac
it 4.) komme ich gar nicht zurecht...
4.) ((Ac ∪ B) ∩ (A ∩ Bc))
Kann man auch aufmalen um es sich vorzustellen (aus Versehen doppelt)
Dann ist (Ac ∪ B) alles was in Ac (also außerhalb vom grünen)
oder in B (also im braunen) liegt. Das heißt, das ist alles
außerhalb vom grünen, es kommt nur noch die Schnittmenge
von braun und grün dazu.
(A ∩ Bc) Das ist alles außerhalb von B, was in A liegt
also sozusagen das grüne ohne die Schnittmenge von A und B.
Dann ist also ((Ac ∪ B) ∩ (A ∩ Bc))
die Schnittmenge dieser beiden, das wäre dann wieder die leere Menge.